Geometria Analítica - Cônicas
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FASE 1
FASE 2
1h) x^2/36 + (y − 2)^2/27=1; 27x^2+36(y^2-4y+4)=26*36 (:3)=> 9x^2+12(y^2-4y+4)=26*12=>9x^2+12y^2-48y+48=312=> 9x^2+12y^2-48y-274=0
FASE 1
x^2-2x=>(x+a)^2=>x^2+2ax+a^2=>2ax=-2x=>a=-1=>(x-1)^2=>x^2-2x+1
y^2-6y=>(y+b)^2=>y^2+2by+b^2=>2by=-6y=>b=-3=>(y-3)^2=>y^2-6y+9
(x-1)^2+(y-3)^2=+1+9+6=>(x-1)^2+(y-3)^2=16(:16)=>(x-1)^2/16+(y-3)^2/16=1. Centro será C=-(-1,-3)=>C=(1.3), e a^2=b^2=16, a^2=b^2+c^2=>16==16+c^2=>c=0.então NÃO temos eixo maior, assim a excentricidade é NULA, uma vez que Exc=c/eixo maior. exc=0/0.
Se excentricidade NULA, pois a^2=b^2=16; a=b=4, 2a=2b=8 =>este é o comprimento (diâmetro) de quaisquer dos eixos a ou b da circunferência, logo seu raio será 4.
C=(1,3) temos que descobrir a MENOR distância para 3y=-4x-1=>3y=-4(x+1/4)=>(y+0)=(-4/3)(x+1/4). O=-(1/4,0)=>O=(-1/4,0)
-4/3 é o coeficiente angular da reta. Ca é negativo e está em “x”. tg⦰=-4/3=>⦰=180-53,13=126.87°
Uma reta perpendicular a y=-4/3(x+1/4), mas que passe por C=(1,3)=> se ca=-1/ca, então y-3=(3/4)(x-1). Ca=-1/ca é condição de perpendicularidade.
Está reta y-3=(3/4)(x-1)=>y=((3/4)(x-1))+3 , além de passar pelo centro C=(1,3), cruza perpendicularmente y=(-4/3)(x+1/4).
I=(-31/25, +33/25).
QConc Brainly x^2+y^2+2x+4y+2=0 Corda = Pm=(-1,-1). Resolução com Gráfico e Distância MN ao centro e comprimento de MN
x^2+y^2+2x+4y+2=0 =>Pm=(-1,-1)=>Vemos que a corda é segmento da reta y=-1, M=(+/-xm, -1) que intercepta em dois pontos a elipse x^2+y^2+2x+4y+2=0, assim x^2+(-1)^2+2x+4(-1)+2=0
-1+2^0.5 e -1-2^0.5=> M=(-1+2^05, -1) N=(-1-2^05, -1)
Para se determinar a distância de MN para Pm, segue:
x^2+y^2+2x+4y+2=0
x^2+2x=>(x+a)^2=>x^2+2ax+a^2=>2ax=2x=>a=1=>(x+1)^2=>x^2+2x+1
y^2+4y=>(y+b)^2=>y^2+2by+b^2=>2by=4y=>b=2=>(y+2)^2=>y^2+4y+4
(x+1)^2+(y+2)^2=+1+4-2=>(x+1)^2+(y+2)^2=+3, Vemos que C=-(+1,+2), C=(-1,-2)
Distância=D^2=(xc-xp)+(yc-yp)=>d^2=(-1-(-1))^2+(-2-(-1))^2=>d^2=1^2=>d=1
geoconic.blogspot.com/p/blog-page_62.html
Descomplica - Dado F=(-5,0), F0=(+5,0) e V=(3,0). Faremos a resolução no osso, ou seja, sem gráfico.
/FFO/=2c=>2c=-5-(5)=>FFO=10, então o centro fica em C=(0,0), assim=c=+/-5 e c^2=25
“c” equidista do Centro aos Focos +/-5 => a^2=b^2+c^2. Vemos que foco F=(-5,0), F0=(+5,0), Vértice V=(+/-3,0) e C=(0,0), y=yc=>y=0, estão no mesmo eixo y=0, Horizontal, então a excentricidade é Positiva.
A distância do centro aos vértices V=(3,0) será +/-3 a=3, a^2=9.
a^2=b^2+c^2=> 9=b^2+25=> b^2=-16=>-b=4.-b^2=16.
Excentricidade= c/a => Exc=c/a Exc=5/3=> Exc>1 e positiva, Hipérbole, Horizontal.
C=(0,0) =>(x-0)^2/a^2+(y-0)^2/b^2=1=>(x-0)^2/9+(y-0)^2/-16=1
16(x-0)^2-9(y-0)^2=9*16=>=> 16x^2-9y^2=144
Vejamos agora F1=(0,-5), F2=(0,+5), e V=(0,+/-3).
/F1F2/=2c=10=>2c=10=>c=5 e c^2=25 então o centro fica em C=(0,0), pois c=+/-5, e“c” equidista do Centro aos Focos +/-5. Se F=(0, +/-5), V=(0,+/-3), e C=(0,0), temos xc=0, então o eixo da cönica será x=0, Vertical. Se vertical b^2>a^2. Lembrando que o denominador de x, e b é denominador de y.
b é distância do centro e vértice /b/=xc-xf=>/b/=0-3=/b/=3=>b^2=9
Como b>a, b será hipotenusa em b^2=a^2+c^2=>9=a^2+25=>-a^2=16
((x-0)^2/-16)+(y-0)^2/9=1=>-9x^2+16y^2=144
C=-(-1,+2)=>C=(+1,-2). a^2=25=>a=+/-5, b^2=9=>b=+/-3. a^2>b^2=> Eixo da cönica será horizontal, uma vez que o denominador de x, e b é denominador de y.Assim C=(+1,+2), F=(+/-xf, -2) e V=(+/-xv, -2). Eixo é y=-2.
Como a>b, a^2=b^2+c^2=> 25=9+c^2=>c^2=+/-16=>c=+/-4. “c” equidista do Centro aos Focos +/-4=>xf=xc+/-4=>xf=+1+/-4=>F0=(+5,-2), F=(-3,-2). FF0=2c=FF0=8
Excentricidade= c/eixo => ⅘ 0<Exc<1 => Elipse.
Vértices serão V=(+/xv, -2)=> xv=xc+/-a, pois a=+/-5 é distância do centro ao vértice, assim xv=+1+/-5=>V=(6,-2) e V=(-4, -2)
Descomplica_ V=(0,0); F0=(0,3/2). x^2/a^2+y^2/b^2=1, Faremos a resolução no osso, ou seja, sem gráfico.
Temos a^2=b^2. Não é possível saber qual o eixo maior, então Excentricidade é Zero. O que nos diz que estamos diante de uma circunferência ou parábola, mas circunferência NÃO tem foco, trata-se de uma Parábola=> (x+0)^2=ca(y+0) ou (y+0)^2=ca(x+0). Observar que V=(0,0);F=(0, 3/2), assim o eixo da parábola será x=0, então y^2=+/-ca(x). Termos uma parábola Vertical. Observa-se também que O foco é maior que o vértice, então teremos uma parábolo vertical Crescente, com a concavidade para cima. y^2=+ca(x)
O Ponto diretriz D=(0,yd). O vértice equidista da diretriz e do foco, assim D=(0,-3/2). A diretriz será y=-3/2. Ca=4*(yf-yc)=>ca=4*3/2=>ca=6=>x^2=+6(y)
Vamos determinar os Pontos Focais da parábola. F1e F2. Uma vez que o eixo focal será y=3/2, F=(xf+/-x, 3/2).
x^2=+6(y) e y=3/2 =>x^2=6*3/2=>x^2=9=>x=+/-3=> F(+/-3,3/2)
Descomplica_1 F=(3,2) V=(-1/2,2)=> (y-2)^2=ca(x+1/2)=> Eixo=y=2, ca=4*m, m=xf-xv=>m=7/2.ca=4*(xf-xv)=>ca=4*(3-(-1/2))=>4*7/2=>14=>(y-2)^2=14(x+1/2)=>(y-2)^2=14x+7=> (y-2)^2=7(2x+1) => D=(xv,2)=>xd=xv-m=>xd=-1/2-7/2=>xd=-5/2, D=(-4, 2), Diretriz x=-4.
Descomplica_2 Uma bola é jogada dentro de uma cesta cuja superfície é obtida girando a parábola y=x^2 em torno do eixo y. O centro da bola ocupa um ponto de altura y = 3.O raio da bola é:
x^2+(y-3)^2=r² e x^2=y, pois a circunferência e a parábola precisam ter DOIS pontos em comum.
y+y^2-6y+9=R=>y^2-5y-R=0 =>Delta=0, Condição para que a circunferência e a parábola tenha DOIS pontos em comum. Se Delta=0, então y=-b/2a.
y=-b/2a=>-(-5)/2*1=>y=5/2 e x²=5/2=>x=+/-(5/2)^0.5 => P=((5/2)^0.5, y=5/2) => Segmento de reta CP=r=>r^2=(xc-xp)^2+(yc-yp)^2=>r^2=(0-(5/2)^0.5)^2+(3-5/2)^2
r^2=5/2+(1/2)^2=>r^2=5/2+¼ => r²=10+1/4=r²=11/4=>r<(11/4)^0.5=>>r<(11^0.5)/2
x^2+(y-3)^2=((11/4)^0.5)²=>x^2+(y-3)^2=11/4
Veja que se r=(11^0.5)/2, a BOLA NAO ENTRA NA CESTA, a resposta correta é r<(11^0.5)/2, e a rigor NÃO há alternativa com respostas.
Descomplica_3 (Fgv 2014) No plano cartesiano, há dois pontos R e S pertencentes à parábola de equação y=x^2 e que estão alinhados com os pontos A=(0,3) e B=(4,0). A soma das abscissas dos pontos R e S é: Resolução com Gráfico em https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_32.html Gráfico
A=(0,3) e B=(4,0), são pontos de uma reta, vamos descobri-lá => tgϴ=senϴ/cosϴ =>tgϴ=m=(y-y0)/((x-x0) => (3-0)/(0-4) => tgϴ=m=-3/4 => m=(y-y0)/((x-x0) =>P(0,3) => -¾=(y-3)/(x-0) => -3x=4y-12 => -3x-4y=-12 => 3x+4y=12
3x+4y=12 e y=x^2 => 3x+4x^2=12 => 4x^2+3x-12=0
3x+4y=12 e y=x^2 => 3x+4x^2=12 => 4x^2+3x-12=0
ax2 + bx + c = 0
(x1+x2)=> x1=(-b+Δ^½)/2a e x2=(-b-Δ^½)/2a =>(-b+Δ^½)/2a+(-b-Δ^½)/2a =>-2b/2a=>
(x1+x2)=-b/a
Confirmando
3x+4y=12 e y=x^2 => 3x+4x^2=12 => 4x^2+3x-12=0 => xa=1.40 e xb=-2.15
ya=1.96 e yb=4.63 Ia=(1.4, 1.96) e Ib=(-2.15, 4.63)
xa+xb= -0,75.
A=(0,3) e B=(4,0)
Reta=y=ca(x+c)= ca=senϴ/cos =>ca=tgϴ=senϴ/cosϴ=>tgϴ=(ya-yb)/(xa-xb)=>tgϴ=-¾=>tϴ=-45º ϴ=180-45=>ϴ=135º
P(0,3)=>y=(-3/4)x+N=>3=0+N=>N=3;>y=-3x/4+3 (*4)=4y=-3x+12
Agora temos que encontrar os pontos da parábola x^2=y que interceptam a reta AB 4y=-3x+12 e x^2=y =>4x^2=-3x+12=>4x^2+3x-12=0 => x=(-3+201^0.5)/8 x’=(-3-201^0.5)/8
(-3+201^0.5-3-201^0.5)/8 =>-6/8=>x+x’=-0,75
Descomplica_4 Sobre a parábola definida pela equação x^2+2xy+y^2-2x+4y+1=0 pode-se afirmar que:
x^2-2x=(x+a)^2=>x^2+2ax+a^2=>2ax=-2x=>a=-1=>(x-1)^2=>x^2-2x+1
y^2+4y=(y+b)^2=>y^2+2by+b^2=>2by=4y=>b=+2=>(y+2)^2=>y^2+4y+4
(x-1)^2+(y+2)^2=+1+4-2xy-1=>(x-1)^2+(y+2)^2=-2xy+4.
- x^2+2xy+y^2-2x+4y+1=0; y=0 => x^2+2x0+0^2-2x+4*0+1=0=>x^2-2x+1=0 x=1, Verdadeiro, pois T=(1,0) é um único ponto.
Descomplica 5 O fisiologista inglês Archibald Vivian Hill propôs, em seus estudos, que a velocidade V de contração de um músculo ao ser submetido a um peso p é dada pela equação (p + a) (v +b) = K, com a, b e K constantes.
Um fisioterapeuta, com o intuito de maximizar o efeito benéfico dos exercícios que recomendaria a um de seus pacientes, quis estudar essa equação e a classificou desta forma:
O fisioterapeuta analisou a dependência entre v e p na equação de Hill e a classificou de acordo com sua representação geométrica no plano cartesiano, utilizando o par de coordenadas (p. V). Admita que K> 0.
O gráfico da equação que o fisioterapeuta utilizou para maximizar o efeito dos exercícios é do tipo
(p + a) (v +b) = K, com a, b e K constantes, P=(p,v) e K>0. Plano cartesiano formado por PV, onde p=x e v=y e, são quaisquer desde que K>0, então vamos estabelecer “a=b=0, e K=1. Onde K, por evidente, deve ser maior que A ou B.
=> P=(x,y)=>(x+0) (y+0)=1 =>xy=1=> y=1/x Hipérbole. Veja por que é uma Hipérbole y=1/x … doideira ... http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/veiculos_de_comunicacao/RPM/RPM45/RPM45_02.PDF
Descomplica 6 Considere a hipérbole de equação y=1/x mostrada na figura abaixo:
Quais são os pontos de interseção entre a hipérbole e a reta de equação y-2=x+2?
y=1/(-2+5^0.5) *(-2-5^0.5)=> 2-5^0.5/5-2 =>> -(2-5^0.5)=>y=-2+5^0.5
A= (-2-5^(0.5), 2-5^(0.5)) e B=(-2+5^(0.5), 2+5^(0.5))
Letra a.
4x^2−32x=0=>4(x^2-8x)=>(x+a)^2=>x^2+2ax+a^2=>2ax=-8x=>a=-4=>4(x-4)^2=>
4(x^2-8x+16)=>4x^2-32x+64
−y^2+8y=0=>-(y^2-8y)=>-(y-4)^2=>-(y^2-8y+16)=>-y^2+8y-16
4(x-4)^2-(y-4)^2=64-16-52 => 4(x-4)^2-(y-4)^2=-4 (:-4)=> -(x-4)^2)+((y-4)^2)/4=1
C=(4,4); a^2=-1: b^2=+4=>b^2>a^2, então.
a^2=b^2+c^2=>-1=4+c^2=>-c^2=5=>c=-5^0.5.
Exc=c/a,Exc=5^0.5/2>-1, Trata-se de uma Hipérbole (Exc>1), e o sinal negativo indica que seu eixo é vertical, x=4, pois C=(4,4), e neste eixo encontraremos F=(4,yf) e V=(4,yv)
Se c=+/- 5^0.5.
C é distância do centro ao Foco. O eixo VERTICAL (x=4) da Hipérbole temos o Centro C=(4,4), o Vértice=(4, yv) e o Foco F=(4,yf), e yf=yc+/-c=> yf=4+/-5^0.5.
F=(4, 4+5^0.5); F0=(4, 4-5^0.5)
V=(4, 2) e V0=(4,6)
acesse com gráfico https://geoconic.blogspot.com/p/13.html
Descomplica 9 A seguir estão ilustradas partes dos gráficos das parábolas A e B, com equações respectivas y=−x^2 +8x−13 e y=-x^2-4x-3.
I. Um dos pontos de interseção das parábolas A e B tem coordenadas (1, -6).
−x^2 +8x−13 =-x^2-4x-3=> +8x−13=-4x-3=>x=10/12=>x=5/6. Falso
II. O vértice da parábola A é o ponto (4, 2).
y=−x^2 +8x−13=>
-x^2+8x=>-(x^2-8x)=>(x+a)^2=>x^2+2ax+a^2>2ax=-8x=>a=-4=>-(x-4)^2=>-x^2+8x-16
-(x-4)^2-13=y-16=>-(x-4)^2=y-3(*-1)=>(x-4)^2=-1(y-3), onde Coeficiente angular CA=-1 e incide em na função linear “y”, que é função seno, sen₢=-1,₢=270 Graus, Eixo da parábola é vertical (função seno), e decrescente 270০.
V=-(-4,-3)=>V=(4,3) Falso
III - A reta que passa pelos pontos de interseção das parábolas A e B tem equação y=2x-6y
I=(5/6, -253/36)=>y=2x-6y=>y=(2*⅚)-6y=>7y=5/3=>y=5/21 Falso.
IV. A distância entre os vértices das parábolas A e B é 102^0.5.
Va=(4,3)
(B)y=-x^2-4x-3
-x^2-4x=-(x^2+4x)=>(x+a)^2=x^2+2ax+a^2=>2ax=4x=>a=2=>-(x+2)^2=>-(x^2+4x+4)=>
-x^2-4x-4,
-(x+2)^2-3=y-4=>-(x+2)^2=y-1(*-1)=>(x+2)^2=-1(y-1)=>Vb=-(+2,-1)=>Vb=(-2,+1)
d^2=va^2+vb^2=>d^2=(xa-xb)^2+(ya-yb)^2=>d^2=(4-(-2))^2+(3-1)^2=>d^2=36+4=>d^2=40
d=40^2=>d=6,324555320336759 => Falso
V. A parábola B intercepta o eixo das ordenadas no ponto com coordenadas (0, -3).
(B)y=-x^2-4x-3
P=(0,-3)=>y=-x^2-4x-3=>y=-3 Verdadeiro
Descomplica 10 A representação no sistema cartesiano ortogonal da equação 9x^2-y^2=36x+8y-11 é dada por:
9x^2-36x-y^2-8y=-11
9x^2-36x=>9(x^2-4x)=>(x+a)^2=>x^2+2ax+a^2=>2ax=-4x=>x=-2=>9(x-2)^2=>9(x^2-4x+4)
9x^2-36x+36
-y^2-8y=-(y^2+8y)=>(y+b)^2=>y^2+2by+b^2=>2by=8y=>b=4=>-(y+4)^2=>-(y^2+8y+16)
-y^2-8y-16;
9(x-2)^2-(y+4)^2=36-16-11=>9(x-2)^2-(y+4)^2=9 (:9)=>(x-2)^2-((y+4)^2)/9=1
C=-(-2,+4)=>C=(2,-4), a^2=1; b^2=-9,
a^2=b^2+c^2=>1=-9+c^2=>c^2=10 => c=+/-10^0.5.
Excentricidade Exc=c/a=>Exc=10^0.5/1, Exc>1, e positiva, temos Hipérbole com eixo Horizontal, y=-4, C=(2,-4), V=(xv, -4) e F=(xf, -4)
xf=xc+/-c=>xf=2+/-10^0.5=>F=2+10^0.5 e F0=2-10^0.5=>F=(2+10^0.5, -4) F0=(2-10^0.5, -4).
V(x, -4)=>9x^2-y^2=36x+8y-11=>9x^2-(-4)^2=36x+8(-4)-11=>x=3 e x’=1
V=(1,-4) V0=(3,-4)
FASE 2
1a) (x − 3)^2 = 4(y − 1)=> x^2-6x+9=4y-4 => x^2-6x-4y+13=0
;Gráfico Trata-se de uma parábola de centro V=(+3,+1); m=+4, Progressiva, com concavidade para cima . O eixo da parábola será paralelo às Ordenadas, ou seja, xf=xv=+3. Eixo focal será paralelo às Abscissas, F=(+3, yf=yv+m/4), yf=2, F=(3,2), mas F não pertence a parábola. F1 e F2, são pontos comum da parábola (x − 3)^2 = 4(y − 1) e da reta y=2.
F1=(5,2) e F2=(1,2).
Reta diretriz será m=4 => d=m/4, e o ponto diretriz encontra-se no eixo da parábola, xf=xv=xd=3, d=(3,yv-m/4) => d=(3, 1-1) => d=(3,0).
Ex=c/a=> c=a=b=1
1b) Gráfico x²+2x-6y+1=0=>x²+2x= 6y-1=>x^2+2x=>(x+a)^2=>x^2+2ax+a^2=> 2ax=2x=> a=1=>(x+1)^2=> x^2+2x+1=6y-1=>(x+1)^2=6y-1+1=> (x+1)^2=6y
(x + 1)^2 = 6y => (x + 1)^2 = 6(y+0) => Vemos uma parábola de Vértice V=(-1,0), com “ca=m” positivo e em “y”. Seu eixo estará na vertical e para cima, assim o eixo da parábola será x=-1. Seu foco será F=(-1,yf), yf=(yv+m/4) => yf=0+3/2 => yf=+3/2, F=(-1, 3/2).
Para se chegar aos focos F1 e F2, lembremo-nos que estão no eixo focal da parábola, que é horizontal, portanto uma reta igual y=3/2 .
F1=(-4,3/2) e F2=(2,3/2)
Reta diretriz será m=6 => d=m/4, e o ponto diretriz encontra-se no eixo da parábola, xf=xv=xd=-1, d=(-1,yv-m/4) => d=(-1, 0-3/2) => d=(-1,-3/2), d=y=-3/2
Brain) Obtenha a equação e esboce o gráfico da parábola de vértice (0, 0), onde:
a) O parâmetro é 2 e o foco está no semi-eixo positivo das abscissas.
b) A diretriz é r : x − 1 = 0.
A diretriz é x=1, , Foco, Vértice e o Ponto Diretriz, eixo horizontal da parábola, estarão em D=(1,0), V=(0,0) e F=(-1,0). A função quadrática será em “y” e a função linear da parábola em “x”, e o coeficiente angular negativo devido pois a concavidade é oposta a reta diretriz. como vemos pela posição do foco.
O parâmetro p é a distância entre foco e ponto diretriz p=1-(-1)=>p=2
O Coeficiente angular => -Ca=p*2 => -ca=2*2 => ca=-4.
(y-0)^2=-4(x-0) ou y^2=-4x.
Tendo y^2=-4x, e o eixo focal x=-1, baseado em F=(-1,0), podemos achar os pontos focais da cônica.
y^2=-4x e x=-1 => y^2=-4*-1=> y^2=4=> y=+/-2 => F1=(-1,-2) e F2=(-1,+2)
V=(9,3), ca=10 => crescente sob x, horizontal - eixo y=3, p=ca/2=> p=5=> F=(9+p/2, 3) => F=(+23/2, +3); D=(9-p/2,3)=> D=(13/2,+3). Diretriz é x=13/2 .
Se F=(23/2, 3),o eixo focal será x=23/2, então (y − 3)^2 = 10(23/2 − 9) => y^2-6y+9=23*5-90=>y^2-6y+99-115=0=> y^2-6y-16=0=> y=8; y=-2
F1=(23/2, -2) F2=(23/2, +8)
1d) (y + 9)^2 = −4(x + 5); Vemos que o Vértice V=(-5,-9), e o ca=-4 na função não linear x, assim temos o eixo da parábola em “y”, horizontal e decrescente, da direita para a esquerda. Sua diretriz será após o vértice V=(-5,-9), perpendicular a y=-9. Vértice, Ponto diretriz e Focos encontram-se no eixo da parábola que é x=-5. V=(-5,-9), F=(xf,-9) e
D=(xd, -9).
O coeficiente angular (ca) guarda uma relação com o parâmetro da parábola (p). ca=2p.
Assim p=-2. “P” é a distância entre Foco e Diretriz, tendo yv equidistante. Se V=(-5,-9), xv=-5, então xd=xv-p/2 => xf=-5-(-2/2) => xd=-4; xf=xv+p/2=> xd=-5-1=>yf=-6, teremos
D=(-4,-9); V=(-5,-9) e F=(-6,-9), reta diretriz x=-4.
A reta focal será x=-6 definida por F=(-6,-9). Os Focos F1 e F2 encontram nesta reta, interceptados pela parábola, logo F1=(-6,yf1) e F2=(-6, yf2) => (y + 9)^2 = −4(x + 5)=> (y + 9)^2 = −4(-6 + 5) => y^2+18y+81=+4=> y^2+18y+77=0 => y=-7; y=-11 F1=(-6, -7); F2=(-6, -11).
1e) (x − 2)^2 /16 + (y − 2)^2 /25 = 1; 25*(x¨2-4x+4)+16*(y¨2-4y+4)=400=> 25x^2-100x+100+16y^2-64y+64=400=>25x^2+16y^2-100x-64y-236=0
Vértice V=(+2,+2). a^2=16, a=4; b^2=25, b=5. b^2=a^2+c^2 => 25=16+c^2 => c^2=9, c=3.
Ex=c/b => Ex=⅗, trata-se de uma elipse, pois Ex<1. Se b>a, então seu eixo será paralelo as ordenadas, x=+2. Considere o vértice V=(+2,+2), então F1 e F2 estão equidistantes do centro e no eixo da elipse, assim V=(+2,+2), F1=(+2,yf=yv+c)=> F1=(+2, +1) e F2=(+2,+5) .
O gabarito correto está em 1f.
1f) (x + 1)^2/20 + (y − 1)^2/36 = 1; => 9(x^2+2x+1)+5(y^2-2y+1)=180=> 9x^2+18x+9+5y^2-10y+5=180=> 9x^2+5y^2+18x-10y-166=0
V=(-1,+1), a^2=20, b^2=36, b>a, eixo vertical, x=_1. b^2=a^2+c^2=>63=20+c^2=> c^2=16, c=+/-4.
ex=c/b => 4/6 => ex=2/3
Lembrando que o eixo é x=-1,Se V=(-1,+1), então F1=(-1,yv+4); F2=(-1, yv-4)
V=(-1,1), F1=(-1, +5) F2=(-1, -3)
O gabarito correto está em 1f
1g) Igual acima.
1h) x^2/36 + (y − 2)^2/27=1; 27x^2+36(y^2-4y+4)=26*36 (:3)=> 9x^2+12(y^2-4y+4)=26*12=>9x^2+12y^2-48y+48=312=> 9x^2+12y^2-48y-274=0
V=(0, -2), a^2>b^2, então eixo horizontal, y=-2. c^2=a^2-b^2 => c^2=36-27=> c^2=9 => c=+/-3. Ex= c/a => 3/6 => ex=½, Elipse portanto.
Lembrando que o eixo é y=+2,Se V=(0,+2), então F1=(xv+c, 2); F2=(xv-c, 2)
V=(0, +2) F1=(+3, +2) F2=(-3, +2)
1i) ) y^2/4 − x^2/16 = 1; => 4y^2-x^2=16; C=(0,0); a^2=4=> a=2; -b^2=16=>b=-4, se a>b, e a em y, e o Centro da cônica C=(0,0), logo o eixo da cônica será vertical, e x=0. c^2=a^2+b^2 => c^2=4+16=> c^2=20, c=+/-20^0.5; Ex=c/a=> Ex=20^0.5/2 => Hipérbole.
Os vértices estão no eixo da hipérbole, onde temos a>b, então V=(0, +/-yv);
y^2/4 − x^2/16 = 1=> y^2/4 − 0^2/16 = 1=> y^2 = 4=> y=+/-2; V=(0, +/-2).
C é a distância do centro ao foco. c=+/-2*3^½ e c=(0,0), se eixo x=0, então F=(0,+/-20^0.5)
y=+/-20^0.5
F1=(+8, 20^0.5); F2=(-8, 20^0.5); F3=(+8, -20^0.5) e F4=(-8, -20^0.5)
Não considerar eixo da hipérbole como reta diretriz.
1j) 4(y − 1)^2/9 − 4(x − 3)^2/27 = 1; => a^2=9; b^2=27 => a=3, b= - 3*3^0.5; a>b; a está em y, logo a hipérbole terá eixo vertical. Considerando o Centro da Hipérbole C=(+3,+1), o eixo da hipérbole, onde encontraremos o foco, será x=3.
V=(3,5/2) V0=(3, -0.5)
c^2=a^2+b^2 => c^2=9+27 => c^2=36 => c=+/-6; Excentricidade= c/a => Ex=6/3, Ex=2 => Hipérbole.
F0=(3,yc+c)=> F0=(3,1+6)=>F0=(3,+7). Eixo focal y=+7; F1=(3,-5) y=-5
F2=(13.06, 7); F3=(13.06, -5); F4=(-7.06, 7); F5=(-7.06, -5)
4(y − 1)^2/9 − 4(x − 3)^2/27 = 1=> 4*3(y − 1)^2- 4(x − 3)^2=27=> 12(y^2-2y+1)-4(x^2-6x+9)=27=> 12y^2-4x^2-24y+24x-51=0
k) (x + 3)^2/4 − (y − 1)^2/5 =1=> a^2=4, -b^2=5, Vemos que a>b, sendo a em x, logo o eixo da cônica será horizontal. Se C=(-3,+1), então o eixo das parábola, onde se encontrarão o centro e os vértices e os focos, será y=+1. c^2=a^2+b^2, onde c será a distância do foco até o centro C=(-3,1) da parábola, assim F=(-3+/-c, +1).
c^2=5+4=> 9=>c=3, F=(-3+/-3, +1)=> F0=(0,1), F1=(-6,+1). Os eixos focais serão x=0 e x`=-6.
Os vértices da parábola V=(xv, +1)`e V0=(xv0, +1) encontram-se em y=1. (x + 3)^2/4 − (y − 1)^2/5 =1=> (x + 3)^2/4 − (1 − 1)^2/5 =1=>(x + 3)^2/4 =1=>>(x + 3)^2=4=> x^2+6x+9=4=> x^2+6x+5=0 => xv=-1; xv0=-5, assim V=(-1, +1) e V0=(-5,+1).
Para a parábola em F0, teremos d=-2. Se o vértice V=(-1,+1), a equação dessa parábola será?
Precisamos determinar o coeficiente angular(m). Se a parábola progride através do eixo y=-1, então m será positivo. O eixo está em y, logo esta será a função quadrática, e terá o formato (y-1)^2=m(x+1)=> m=4c=> m=4*3 => m=12=> (y-1)^2=12(x+1)
(x + 3)^2/4 − (y − 1)^2/5 =1 (*20) => 5(x+3)^2-4(y-1)^2=20=> 5(x^2+6x+9)-4(y^2-2y+1)=20
5x^2+30x+45-4y^2+8y-4=20=> 5x^2-4y^2+30x+8y+21=0
Verifique e converta
a) x^2 − 10x + 2y + 23 = 0; => x^2-10x=> (x+a)^2=>x^2+2xa+a^2=> -10x=2xa=>a=-5 (x-5)^2=>x^2-10x+25=>(x-5)^2=+25-2y-23=>(x-5)^2=-2y+2=>(x-5)^2=-2(y-1). Vemos uma parábola de Vértice V=(5,1). Seu coeficiente angular (m) m=-2, e se encontra da função “x”, assim teremos uma parábola com eixo vertical x=5. Como “m”é negativo teremos uma parábola decrescente.
Vértice, Foco e Diretriz estão no eixo da parábola x=5, então serão V=(5,1), F=(5,yf) e D=(5,yd). \yf\=\yd\=yv+/-c=> \yf\=\yd\=1+/-c.
/c/=m/4=> -2/4=/-½/=> c=+/-½ . /yf/=/yd/=1+/-1/2 => yd=3/2 e yf=1/2
Veja a parábola é decrescente, então D=(5,3/2) e F=(5,½).
Vemos o eixo focal y=½. Então dos pontos focais da parábola F0= (-2c+5,1/2 )e F1=(-2c-5, ½). 2c=1, F0= (4,1/2 )e F1=(6, ½)
x^2+4x=(x+a)^2=x^2+2ax+a^2=> 2ax=4x=>a=2=> (x+2)^2=> x^2+4x+4
+ 4y^2 -8y=>4(y^2-2)=>4(y+b)^2=> y^2+2by+b^2=>2by=-2=>b=-1=>(y-1)^2=>4(y^2-2y+1)=>4y^2-8y+4
(x+2)^2+4(y-1)^2=+4+4-4 =>(x+2)^2+4(y-1)^2=4=>(:4)=>(x+2)^2/4+(y-1)^2=1 => C=(-2,+1); a^2=4 e b^2=1, a>b, a^2=b^2+c^2 =>4=1+c^2=> c^2=3 => c=+/-3^0.5=> Ex=c/a=> +/-3^0.5/2
Exc=0,86<1, Elipse e C=(-2,1)
Se a>b, 2>1, e a ->x, assim o eixo da parábola será y=1.
F=(xv+/-3^0.5, 1) => F=(-2+/-3^0.5, 1)=> F=(-2-3^0.5, 1); F0=(-2-3^0.5, 1)
Os vértices da elipse, temos y=1
a^2=4=>a=+/-2; V=(xc+/a, +1) => V=(-2+2, +1)=> V=(0,1); V0=(-4,1)
Extremidade do eixo MENOR da parábola, temos x=-2
b^2=1=>b+/1; Py=(-2,yc+/-1)=> Py=(-2, +1+/-1)=> Py=(-2, 0); Py0=(-2,+2)
c) Brain 18x² - 8y² - 108x + 16y + 226 = 0 => Solução com Gráfico em https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_2.html
18x^2-108x=18(x^2-6x)=(x^2-6x)=(x+a)^2=>x^2+2a+a^2=>2a=-6=a=-3=>18(x-3)^2=>18(x^2-6x+9)=>18x^2-108x+162
-8y^2+16y=-8(y^2-2y)=>y^2-2=(y+b)^2=>y^2+2yb+b^2=>2yb=-2y=>b=-1=>(y-1)^2=>-8(y-1)^2=>-8(y^2-2y+1)=>-18y^2+16y-8
18(x-3)^2-8(y-1)^2=162-8-226=>18(x-3)^2-8(y-1)^2=-72 (*-72)=>-(x-3)^2/4+(y-1)^2/9=1
-a^2=4, b^2=9, b>a; Eixo da cônica vertical, se C=(+3,+1), então eixo será x=3.
a^2=b^2+c^2 => 9=-4+c^2=>c^2=13=>c=+/-13^0.5, Exc= c/a=> Exc=13^0.5/2=> Exc=1,80>1, então trata-se de um Hipérbole.
No eixo da Hipérbole, x=3 encontraremos Centro C=(3,1), Vértices V=(3,+/-yv) e F=(3, yf+/-c)
F=(3, 1+/-13^0.5)=>F=(3, 1+13^0.5); F0=(3, 1-13^0.5)
yv=18(x-3)^2-8(y-1)^2=-72; x=3 => 18(3-3)^2-8(y-1)^2=-72 =>-8(y-1)^2=-72=> y^2-2y+1=9=> y^2-2y-8=0 => y=4 y=-2 V=(3,-2); V0=(3,4)
Brain 36y^2 – 64x^2 = 2304 (:2304)=>(y+0)^2/64-(x+0)^2/36 =1 Maiores detalhes com Gráfico em https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_95.html
=> a^2=64;-b^2=36 e C=(0,0); a^2>b^2(64>-36), sendo “a” em “y”, assim o eixo maior será as ordenadas, ou seja eixo da cônica em x=0. Excentricidade = c/a => a^2=b^2+c^2=> 64=-36+c^2=> c^2=100=>c=10
Exc=10/8=> Exc=5/4>1, então temos uma hipérbole.
No eixo da hipérbole teremos o Centro na origem, o Vértice e o Foco, na reta x=0, assim
F=(0,0+/-c)=> F=(0, +/-10)
V=(0, +/yv)=> (y+0)^2/64-(x+0)^2/36 =1; x=0=>(y+0)^2/64-(0+0)^2/36 =1
=>y^2 =64=>+/-8=> V=(3, +/-8)
Brain 2x²+3y²-8x+6y-7=0 Maiores detalhes com Gráfico em https://geoconic.blogspot.com/p/brain-2x3y-8x6y-70-maiores-detalhes-com.html
2x^2-8x=>a(x^2-4x)^2=>(x+m)^2=>x^2+2mx+m^2=>2mx=-4x=>m=-2=>2(x-2)^2=>2(x^2-4x+4)=>2x^2-8x+8;
3y^2+6y=>3(y^2+2y)=>(y+n)^2=>y^2+2ny+n^2=>2ny=2y=>n=1=>3(y+1)^2=>3(y”2+2y+1)
3y”2+6y+3. 2(x-2)^2
2(x-2)^2+3(y+1)^2=+8+3+7=> 2(x-2)^2+3(y+1)^2=18 :(18)=> (x-2)^2/9+(y+1)^2/6=1
a^2=9;b^2=6=> a^2>b^2=> “a” está em “x”, então o eixo da cônica estará na horizontal. Vemos que o centro da cônica é C=-(-2,+1), C=(+2,-1), então o eixo da cônica será y=-1.
a^2=b^2+c^2=>9=6+c^2=>c^2=3=>c=+3^0.5.
Excentricidade Exc=c/eixo maior=>3^0.3/3=> 0<Exc<1, então temos uma elipse.
No eixo da elipse, y=-1, encontraremos Centro, Vértice e Focos, entâo C=(xc, -1), V=(xv,-1) e F=(xf,-1). Somente o vértice é ponto da elipse.
Focos da elipse são a distância “c” ao centro: F=(xc+/-c, -1)=> F=(+2+/-3^05, -1)=>F=(2+3^0.5, -1); F0=(2-3^0.5, -1)
Os vértices são pontos da elipse no eixo y=-1, então (x-2)^2/9+(y+1)^2/6=1
V=(5,-1);V0=(-1,-1)
Brain 25x² + 169y²=9
(:9)=>25(x-0)^2/9+169(y-0)^2/9=1=> Resolução completa emhttps://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_4.html com Gráfico em
a^2=9/25 e b^2=9/169, vemos que a^2>b^2, e “a” está em “x”, assim o eixo da cônica será horizontal. se C=(0,0), então eixo será y=0. Neste eixo encontramos o Centro C=(0,0), o Foco F=(xc+/-c,0) e Vértice V=(xv,0)
a^2=b^2+c^2=>9/25=9/169+c^2(*4225)=>9*169=9*25+4225c^2=>c^2=9(169-25)=>4225c^2=9*144=>c^2=9*144/4225=> c=(9*144/4225))^0.5=>3*12/65=>c=36/65
F=(+/-36/65, 0)
V=(xv,0)=>25xv² + 169y²=9, xv pertence a elipse, para y=0
25xv² + 169*0²=9=>25xv^2=9=>xv=(9/25)^0.5=>xv=+/-⅗
V=(+/-3/5 , 0)
Brain 16x² - y²=-1 (-1)=>-16(x-0)^2+(y-0)^2=1=>Gráfico a^2=-16;b^2=+1=>b>a=>1>-16. B está em y^2, assim o eixo desta cônica será vertical. Como o Centro C=(0,0), então o eixo será x=0.
a^2=b^2+c^2=>-16=1-c^2=>c^2=17=>c=+/-17^0.5= Excentricidade=c/eixo maior(b)=> exc=17^0.5/1, exc=17^0.5 > 1, então temos uma hipérbole.
F=(0, +/-17^0.5)
V=(0,yv)=> 16x² - y²=-1=>160² - y²=-1 =>vy=+/-1
V=(0,+/-1)
20_10 (Unesp 2008) Suponha que um planeta P descreva uma órbita elíptica em torno de uma estrela O, de modo que, considerando um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, sendo a estrela O a origem do sistema, a órbita possa ser descrita aproximadamente pela equação , com x e y em milhões de quilômetros. A figura representa a estrela O, a órbita descrita pelo planeta e sua posição no instante em que o ângulo PÔA mede π/4.
A distância, em milhões de km, do planeta P à estrela O, no instante representado na figura, é:
Elipse = x^2/100+y^2/25 =1 => a^2=100 => a=10 e b=5 => a^2=b^2+c^2 => 100=25-c^2
c^2 => c^2=75 => c=75^0.5 => Excentricidade = c/a => 75^0.5/10; Se a>b então o eixo será abscissa - y=0, com centro em Zero, então os focos F1 e F2 serão F=(+75^0.5, 0) e F1=(-75^0.5, 0)
ⲁ=𝜫/4=45º
tgⲁ= Senⲁ / Cos ⲁ ou y/x
Coeficiente angular da Reta é tg 45º = m = y /x =>1=x/y => y=x -> reta OP
x^2/100+y^2/25 =1 => x^2/100+(x)^2/25 =1 =>x^2/100+2x^2/25=1 (*100)
x^2+4*(x)^2=100=>x^2+4x^2=100=> 5x^2=100=> x^2=20=> x=+/-20^0.5 , y=+/-5
OP^2=x^2+y^2=> OP^2=(20^½ )^2+(20^½ )^2=> OP^2=40+ OP=40^½ ou 2*10^½
12_19. (Ita 2008) Dada cônica 𝞴: x^2-y^2 = 1, qual das retas abaixo é perpendicular à 𝞴 no ponto P=(2,3^1/2). Seja t a reta tangente a λ no ponto P.(Isso deveria ser apresentado na questão.) Gráfico
m=y-yo/x-x0 => m= 3^0.5/2 => y-3^½ = m(x-2)
m= y-3^½ /(x-2) => n=(x-2)/y-3^½
m=x/y=> m=⅔^½
n=-3^0.5/2
y-3^½ =⅔^0.5 (x-2) Tangente
Cotangente n=-1/m
y-3^½ =-3^0.5/2 * (x-2) => y=(-3^0.5/2 * (x-2))+3^0.5
Vamos achar uma reta paralela a 𝞴
Para isso temos que ter os focos “c” da hipérbole e seu centro C=(0,0)
c^2=a^2+b^2 => c^2=2^2+(3^½)^2 => c^2=4+3 => c^2=7 => c=+/-7^½
Ex=c/a => ex=7^½ /1=> ex=7^½
2c= 2*7^½ , a=b, trata-se de uma hipérbole quadrada e seu eixo de simetria será y=0, então seus focos serão F1=(7^½, 0) e F2=(-7^½,0)
18. (Udesc 2009) Analise as afirmações dadas a seguir, classifique-as como verdadeiras (V) ou falsas (F).
( ) A equação x^2 - 2x + y^2 + 2y + 1 = 0 representa uma circunferência que é tangente, tanto ao eixo das abscissas quanto ao eixo das ordenadas.
( ) A elipse de equação 9x2 + 4y2 = 36 intercepta a hipérbole de equação x^2
- 4y^2 = 4 em apenas dois pontos, que são os vértices da hipérbole.
( ) O semieixo maior da elipse 9x2 + 4y2 = 36 é paralelo ao eixo real da hipérbole x^2
- 4y^2 = 4.
x^2 - 2x + y^2 + 2y + 1 = 0 =>
x^2-2x=>(x+a)^2=>x^2+2xa+a^2=> 2xa=-2x=>a=-1=>(x-1)^2=>x^2-2x+1
y^2+2y=>(x+b)^2=>y^2+2yb+b^2=>2y=2yb=> b=1=>(y+1)^2=>y^2+2y+1
(x-1)^2+(y+1)^2=-1+1+1 => (x-1)^2+(y+1)^2= +1, realmente temos uma circunferência de centro C=(+1, -1), no quarto quadrante, e raio 1, e tangente aos eixo cartesianos. Verdadeiro.
9x^2 + 4y^2 = 36 => 9x^2 + 4y^2-36=0
x^2- 4y^2 = 4=> x^2- 4y^2 = 4 (:4)=> x^2/4-y^2=1 c=(0,0), a^2=2^2 e b^2=1 => a=2, b=1
2a=a^2=4, 2b=2 => Se a=+/-2, então os vértices são V1=(+2,0) V1=(-2,0)
9x^2 + 4y^2-36=0 e x^2- 4y^2-4=0
9x^2 + 4y^2-36=x^2- 4y^2-4 => 8x^2+8y^2-32=0 (:8)=> x^2+y^2=+4, que uma circunferência, vemos que V1=(+2,0)=> x^2+y^2=+4, 2^2+0=4, Verdadeiro; e V2=(-2,0)=> x^2+y^2=+4, (-2)^2+0=4, Verdadeiro.
Poderíamos calcular o vértice da elipse 9x^2 + 4y^2 = 36=> x^2/4+y^2/9=1
a^2=4 e b^2=9 =>a=+/-2, V1=(+2,0) V1=(-2,0) = Verdadeiro.
x^2/4+y^2/9=1 de Centro na origem e Eixo maior na ordenadas pois b>a.
x^2/4-y^2=1 de Centro na origem e Eixo maior na abscissas pois a>b. Falso.
Essas ruas possuem calçadas de 1,5 m de largura, separadas por uma pista de 7 m de largura.
Vamos admitir que:
I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na forma de uma elipse de excentricidade 0,943;
II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lâmpada, no meio da rua;
III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem exatamente a largura da rua (calçadas e pista).
Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas extremidades dos eixos maiores, a distância, em metros, entre dois postes consecutivos deverá ser de aproximadamente:
Eixo menor da elipse é 1,5+7+1,5=10m => 2b=10m => b=5 => b^2=25
Ex=c/a=> 0.943=c/a => 0.943=c/a =>c^2= 0,889a^2
a^2=c^2+25=> 25=a^2-c^2 => 25=a^2- 0,889a^2 => 0,111a^2=25 => 0,333a=5
a=5/0.333 => a=15,015, 2a= 30,3 metros
Maiores detalhes e outros execícios visite https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_5.html
16. (Uft 2010) Considere IR o conjunto dos números reais e b ϵ IR . Encontre os valores de b, tais que no plano cartesiano xy, a reta y = x + b intercepta a elipse x^2/4+ y^2=1, em um único ponto. A soma dos valores de “b” é: Gráfico
x^2/4+ y^2=1 => y = x + b
x^2/4+ y^2=1=>(x4)=>x^2+4y^2=4 => x^2+4(x+b)^2=4 => x^2+4(x^2+2bx+b^2)-4=0=>
x^2+4x^2+8bx+4b^2-4=> 5x^2+8bx+4b^2-4 => b^2-4ac=0 => a=5, b=+8b, c=+4b^2-4
b^2-4ac=0 =>64b^2-20*(+4b^2-4)=0 =>16b^2-5*(4b^2-4)=0=> 16b^2-20b^2+20=0
-4b^2=-20=> b^2=5 => b=+/-5^½ => +5^½ - 5^½ = Zero.
15. (Ime 2010) Uma hipérbole de excentricidade 2^0.5 tem centro na origem e passa pelo ponto P= (5^1/2,1). A equação de uma reta tangente a esta hipérbole e paralela a y = 2x é: Gráfico
ex=c/a =>2^½=c/a => 2=c^2/a^2 => c^2=2a^2
c^2=a^2+b^2 => 2a^2=a^2=b^^2=> a^2=b^2
x^2/4-y^2/4=1 => x^2-y^2=4 => y=2x=>y=2x+K, a=b=2
x^2/a^2-y^2/a^2=1 => x^2-y^2=a^2
x^2-(2x+k)^2=4=>x^2-(4x^2+4xk+k^2)=4=>x^2-4x^2-4xk-k^2=4 =>
-3x^2-4xk-k^2-4=0 => b^2-4ac=0 => a=-3;b=-4 e c=(-k^2-4)
(-4k)^2-4*-3*(-k^2-4) => 16k^2-12k^2-48 => 4k^2=48=> k^2=12, k=+/-12^½
y=2x+12^0.5 ou y=2x-12^0.5
y=2x+(2^2*3)^0.5=> y=2x+2*3^½ (*3^½ ) => 3^1/2y=2x*3^½ +/-6 .
Resolução completa Com gráfico em https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_71.html
14. (Ufpb 2011) A secretaria de infraestrutura de um município contratou um arquiteto para fazer o projeto de uma praça. Na figura a seguir, está o esboço do projeto proposto pelo arquiteto: uma praça em formato retangular medindo 80 m x 120 m, onde deverá ser construído um jardim em forma de elipse na parte central.
Estão destacados na figura os segmentos AC e BD que são, respectivamente, o eixo maior e o menor da elipse, bem como os pontos F1 e F2, que são os focos da elipse onde deverão ser colocados dois postes de iluminação. Com base nessas informações, conclui-se que a distância entre os postes de iluminação será, aproximadamente, de:
AC=120-2*(10)=>AC=100 (Eixo Maior) = 2a => a=50
BD=80-2*(10)=> BD=60 (Eixo Menor) = 2b => b=30 e a>b
Como temos uma elipse x^2/a^2+y^2/b^2=1 e a^2=b^2+c^2
c^2=50^2-30^2 => 2500 - 900=> c^2=1600 => c=40,
assim F1F2 será = 2c => F1F2=80
Brainly Deduza uma equação da elipse de focos F0=(0, 1) e F1=(0,-1) e eixo maior 4
O centro “yc”da elipse será => y0-y1=>1-(-1)=/2/, como yc fica no meio do eixo da elipse, temos yc=0, assim C=(0,0).
Os Focos ficam no eixo y, pois xc=0, e o eixo y é quatro vezes maior que o eixo x, então 4a=b.
x^2/a^2+y^2/b^2=1 => c=1=> b^2=a^2+c^2 (b>a)=> b^2=a^2+1=>4(a)^2=a^2+1=>4a^2-a^2=1=> 3a^2=1=> a^2=1/3=> a=1/3^0.5 e
b^2=⅓+1=>b^2=4/3 =>
x^2/(⅓)+y^2/(4/3)=1 => 3x^2+3y^2/4=1.
Gabarito proposto x^2 / 3 + y^2/4=1, b>a e Centro na origem c=(0,0)
a^2=3, b^2=4 => b>a=> b^2=a^2+c^2=> 4=3+c^2=>c^2=1=> c=1.
Para esta parábola para b=2 e “a” deveria ser ½, o quê invariavelmente modificaria c, mas vemos que em verdade “a” é 3^½ , não atendendo a condição 4a=b.
Resolução com gráfico em https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_25.html
13. (Espcex (Aman) 2012) Num estádio de futebol em forma de elipse o gramado e o retângulo Mnpq, inscrito na cônica conforme mostra a figura. escolhendo o sistema de coordenadas cartesianas indicado e tomando o metro como unidade a elipse é descrita pela equação x² sobre 36² + y² sobre 60² = 1 sabe -se também que os focos da elipse estão situadas em lados retângulos MNPQ. assim a distância entre as retas MN e PQ ?
x^2/36^2+y^2+60^2=1=> x^2/b^2+y^2/a^2=1=>b^2=36^2=>b=36; a^2=60^2=>a=60
Resolução completa em https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_24.html
12. (Espcex (Aman) 2012) A representação no sistema cartesiano ortogonal da equação 9x^2- y^2=36x+ 8y-11 é dada por
9x^2-36x-y^2+8y=-11
9x^2-36x=>9(x^2-4x)=>(x+a)^2=>x^2+2ax+a^2=>2ax=-4x=>a=-2=>9(x-2)^2=>
9(x^2-4x+4)=>9x^2-36x+36
-y^2+8y=>-(y^2-8y)=>(y^2+b)^2=>y^2+2by+b^2=>2by=-8y=>b=-4
-(y-4)^2=>-(y^2-8y+16)=>-y^2+8y-16
9(x-2)^2-(y-4)^2=-11+36-16=> 9(x-2)^2-(y-4)^2=9 (:9)=> (x-2)^2-(y-4)^2/9=1
Hipérbole, com centro em C=(+2,+4)
Solução Completa com Gráfico em https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_50.html
11. (Uepb 2012_11) Deseja-se construir uma praça em forma de elipse em um terreno retangular de dimensões x metros e y metros, com x>y, de perímetro 300 m e área 5000 m^2 , conforme nos mostra a figura.
Estando previstas as instalações de duas torres de iluminação, uma em cada foco da elipse, F1 e F2 , local de melhor distribuição e aproveitamento das mesmas, concluímos que a distância em metros entre as torres é
5000=2(x/2)*y => 5000=xy
300=2(2x/2)+2y=>300=2x+2y=> 150=x+y
5000=x*(150-x) => x=50 e x`=100, como x>y => x=100 e y=50
x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 => a^2=b^2+c^2 = F1F2=2c= a^2=b^2+c^2
(x/2)^2=(y/2)^2+c^2=> c^2=10000/4-2500/4=>c^2=7500/4=>c^2=1875 => c=25*3^½
F1F2=2C => F1F2=50*3^½
10. (Uftm 2012_10) Os pontos P e Q estão na parábola dada por y = 4x^2 + 7x–1, e a origem do sistema de coordenadas cartesianas está no ponto médio de PQ.
Sendo assim, P e Q são pontos que estão na reta. Gráfico
Descobrindo o Vértice da Parábola
y = 4x^2+7x–1 => 4x^2+7x => 4(x^2+7x/4)=>(x+a)^2=>x^2+2ax+a^2=>2ax=7x/4=>a=⅞
4(x+⅞)^2=>4(x^2+7x/4+49/64)=>4x^2+7x+49/16=>4(x+⅞)=y+1+49/16=>
4(x+⅞)=y+65/16. C=(-⅞, -65/16) e ca=1, Então o eixo da parábola será em x=-7/8
e como ca é positivo a parábola será crescente.
ca=1, então distância foco-diretriz será ca/2 ou seja ½, e do vértice ao foco ¼, então a diretriz será -65/16-¼ = -65-4/16, Diretriz será y=-9/8, e o foco será-65/16+1/4 = -61/16.
y = 4x^2 + 7x–1 e P(px, py), primeiro quadrante e Q(-qx,-qy) terceiro quadrante. px=-qx e py=-qy
y = 4x^2 + 7x–1
py=4(px)^2+7px-1
qy=4(qx)^2+7qx-1*(1)=> py=-4qx^2-7qx+1=>py=-4(-px)^2-7(-px)+1=>py=-4px^2+7px+1
-4px^2+7px+1=4(px)^2+7px-1=>-8px^2=-2=> px^2=¼=>px=+/-½
py=-4(½)^2+7*1/2+1=> py= 7/2, assim P=(½, 7/2) e Q=(-½, -7/2)
Nota: A Origem do sistema cartesiano é Ponto Médio Pm= (0,0)
Reta formada pelos pontos P=(½, 7/2) O=(0,0)
m=(y-y0)/(x-x0) => (0-7/2)/(0-½) => m=-7/2/-½ => m=7 =>Reta => y=7x
d^2=(x-x0)^2 + (y-y0)^2 => d^2=(-7/2)^2+(-½)^2 => d^2=49/4+¼ =>d^2=r^2=50/4
x^2+y^2=50/4, demonstrando que é ponto médio.
9. (Ufrn 2013_9) Um arquiteto projetou, para um salão de dimensões 22 m por 18 m, um teto de gesso em formato de elipse com o eixo maior medindo 20 m e o eixo menor, 16 m, conforme ilustra a figura abaixo.
O aplicador do gesso afirmou que saberia desenhar a elipse, desde que o arquiteto informasse as posições dos focos.
Para orientar o aplicador do gesso, o arquiteto informou que, na direção do eixo maior, a distância entre cada foco e a parede mais próxima é de?
EM=20 e Em=16 => EM=2a=>a=10; e Em=2b=16=>b=8
x^2/a^2+y^2/b^2=1 => x^2/100+y^2/64=1
c^2=a^2-b^=> c^2=100-64=> c=6=> Cada foco dista do centro 6. O EM=20 => (EM/2)-c => verificaremos a distância entre o Foco e a extremidade do EM => (20/2)-6=4.
O lado da parede é 22, e dista do centro 11, e EM/2=10, então temos 1 de separação entre o EM e a parede.
Os focos distam das paredes 1+4= 5m
Considerando o Eixo menor - Em=16, sua distância ao centro será 8. A parede perpendicular ao Em é 18, e sua distância do centro será 9. Então teremos 1 de distância da parede.
x2 – 4x + 2y = 0 =
x^2-4x+2y=0
x^2-4x=>(x+a)^2 =>x^2+2ax+a^2=>-4x=+2ax=>a=-2=>(x-a)^2=>(x-2)^2=>x^2-4x+4
(x-2)^2=-2y+4=> (x-2)^2=-2(y-2)
n=-2 =>
A distância do foco até a diretriz será n/2 =1
E do foco ao vértice n/4=½
Q773297 Um arquiteto está gerenciando uma obra em uma grande cidade turística e verificou no projeto que precisava construir uma cobertura modelada matematicamente pela função . É importantíssimo que ele conheça a representação geométrica desta função, para saber se a obra ficará harmônica. Dessa forma, foi necessário executar alguns cálculos para saber qual a superfície representada por esta função. Após fazer os cálculos, o arquiteto concluiu que esta função representa:
Cálculo da função reduzida => z^2=-x^2-y^2-2x+6y+6 => -z^2=x^2+2x+y^2-6y=+6
x^2+2x=(x+a)^2=> x^2+2xa+a^2 => 2x=-2xa => a=1=> (x+1)^2=>x^2+2x+1
+y^2-6y=(y+b)^2=>x^2+2yb+b^2=>2yb=-6y=>b=-3=> (y-3)^2=>y^2-6y+9
(x+1)^2+(y-3)^2=+6+1+9 => (x+1)^2+(y-3)^2=4^2, trata-se portanto de uma circunferência de Centro (-1,+3) e raio = 4.
Q494279 A figura abaixo representa, no sistema de eixos cartesianos xoy, uma elipse de equação 16x2 + 25y2 = 400 e um triângulo AFG, retângulo em F.
Se AB é a medida do eixo maior dessa elipse e o ponto F um de seus focos, a área do triângulo AFG equivale a:
Calculando a equação reduzida -> 16x^2 + 25y^2 = 400 :(400) => x^2/25+y^2/16=1 =>x^2/a^2+ y^2/b^2=1 a=5 e b=4, logo c^2=a^2-b^2 => c=3 e Centro C=(0,0)=> Vemos que a>b, logo a é eixo maior e b eixo menor, e como a está para x, o eixo maior será vertical.
Com o Centro em C=(0,0), os focos distam do centro c=3, assim +/3, ou seja F1=(-3,0) e F2=(3,0), distäncia focal 2c=6, e temos que o eixo maior será EM=2a => EM=2*5= EM=10; e Eixo menor Em=2b => Em=2*4=> Em=8.
Como F2=(3,0) é um dos focos da elipse, AG=EM=10, AF=Em=8 e GF=c=3.
AG+GF=2A => AG+GF=2*5 => AG+GF=10 =>
y=+3,2 > G=(+3,+3,2)
Formou-se o triângulo AGF, onde AF=8, e FG = 3,2, assim área do triângulo será 8*3,2:2= 12,8
Resolução completa com gráficos em https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_29.html
Q193997 A equação da elipse que passa pelo ponto Q=(6,5), cujo eixo maior AB é tal que A=(1,2) e B=(11,2).
Vemos que o eixo da elipse é y=2, e seu Eixo Maior é 10, assim 2a=EM=> 2a=10 => a=5, e equidista de AB logo C=(6,2).
Podemos determinar o eixo menor: Em=2b, é perpendicular ao Eixo Maior da parábola e passa pelo centro C=(6,2), sendo assim o eixo menor é x=6.
Temos então dois segmentos de retas que passam por C=(6,2), o eixo maior EM=10 em y=2, e Em=2b=? em x=6, e vemos que Q=(6,5), sendo Q ponto da parábola, que também é ponto do Eixo menor, pois x=6, que equidista do Centro C=(6,2) => 5-2=3.
Assim, o outro ponto extremo do Em será R=(6,-1).
O Em=5-(-1),= Em=2b=6, assim b=3
EM é y=2, então y estará para b, sendo que EM será horizontal.
((x-6)^2)/a^2)+((y-2)^2/b^2)=1 => A fórmula da Cônica é ((x-6)^2/25)+((y-2)^2)/9)=1, com centro em C=(6,2)
a^2=b^2+c^2=> 25=9-c^2=>c^2=16=> c=4. Se ajudará a determinar os focos a partir do C=(6,2) => F1=(10,2) e F2=(2,2)
Exemplo 1. Determine a equação reduzida da elipse com focos sobre o eixo x, com eixo maior medindo 12 e eixo menor 8.
x/12+y/8=1 => a=EM/2 => a=6; b=Em/2=> b=4
x0=a^2=>x0=36; y0=b^2=>b=16 =>
Exemplo 2. Determine a equação reduzida da elipse sabendo que um dos focos é F1(0 , -3) e que o eixo menor mede 8.
b=Em/2=>b=4 => Considerando o eixo focal em y => c=/y/ =.c=3
a^2=b^2+c^2 => a^2=36
x^2/36+y^2/16=1
Considerando o eixo focal em x => c=/x/ =.c=0, então a=b, loco não temos uma elipse, mais um circunferência.
x^2/16+y^2/16=1
Exemplo 3 Os pontos P1=(4, 0) e P2(-4,0), F1=(-3,0) e F2=(3,0)
O centro da elipse equidista dos focos então a origem C=(0,0)
Os vértices da elipse determinam o tamanho do eixo maior ou menor, assim o tamanho do Eixo será 8.
Consideramos o eixo menor 8 => Em=8, assim b=Em/2 => b=4 e b^2=16.
Verifica-se em F1 e F2 que o eixo da parábola está na abscissa, uma vez que y=0.
c=/x/=>c=3 e c^2=9. O eixo focal será 2c => Ef=6
Em>Ef, condição de existência da elipse => 8>6 - Verdadeiro
Vejamos: a^2=b^2+c^2 => a^2=25
Como o eixo da elipse está na abscissa, então o eixo maior estará nas ordenadas, assim “a” estará para “y”.
x^2/b^2+y^2/a^2=1 => x^2/16+y^2/25=1
Consideremos o eixo Maior 8 => EM=8 =>a=EM/2=>a=4=> a^2=16
Verifica-se em F1 e F2 que o eixo da parábola está na abscissa, uma vez que y=0.
c=/x/=>c=3 e c^2=9 =< Vejamos: a^2=b^2+c^2 => 16=b^2+9 => b^2=7, mas b=7^½ , que implica num eixo menor de Em=2*7^½ =Em=5,19
Verifica-se em F1 e F2 que o eixo da parábola está na abscissa, uma vez que y=0.
c=/x/=>c=3 e c^2=9. O eixo focal será 2c => Ef=6
Em>Ef, condição de existência da elipse => 5,16>6 - Falso
(x-2)^2 +4(y+5)^2= 36, e ”n” o maior valor real que y pode assumir nessa mesma equação,então, m n é igual a
(x-2)^2 +4(y+5)^2= 36 (:36) => ((x-2)^2)/36 +4/36(y+5)^2= 1=> ((x-2)^2)/36 +((y+5)^2)/9= 1 => a^2=36=> a=9; b^2=9=>b=3
(x-2)^2=>x^2-4x+4
4(y+5)^2=>4(y^2+10y+25)=> 4y^2+40y+100
x^2-4x+4+4y^2+40y+100=36+4+100=>(x-2)^2+4(y+5)^2=36
Se x=0 =>(x-2)^2 + 4y^2+40y+100=36=> (0-2)^2 + 4y^2+40y+100=36=>4 + 4y^2+40y+100=36=> 4y^2+40y+68=0
6. (Unesp 2013_6) Os pontos A e C são intersecções de duas cônicas dadas pelas equações x^2+y^2= +7 e y=x^2–1, como mostra a figura fora de escala. Sabendo que tg 49=2/3*3^½, e tomando o ponto B=(0,– 7^1/2), determine a medida aproximada do ângulo ABC, ˆ em graus. Gráfico
Método trigonométrico
x^2+y^2= 7=> x^2+y^2- 7=0
y=x^2–1=>x^2-y-1=0
x^2-y-1=0 =>y(2)=>x^2-(2)-1=0=>x^2=+3=>x=+/-3^½ => A=(+3^½, +2), C=(-3^½, +2)
x^2-y-1=0 =>y(-3)=>x^2-(-3)-1=0=>x^2=-3 => Impossível reais.
Considere o triângulo AED
Cateto Oposto DE(y) = 2, Cateto Adjacente AE=3^½(x)
A função tangencial é Sen/Cos, ou seja CO/CA => 2/3^½ =>2*3^½ /3
Estes valores o problema fornece tg 49º=2*3^½ /3, assim aØ=49, assim aØ=180-(90-49)= dØ=41º.
Onde dØ=41º=bØ=41º, pois 2d=b
Método Retas. Mas complicado, entretanto não precisa lembrar o teorema do ângulo inscrito, mas somente resolve o problema com calculadora.
x^2+y^2= 7=> x^2+y^2- 7=0
y=x^2–1=>x^2-y-1=0
x^2-y-1=0 =>y(2)=>x^2-(2)-1=0=>x^2=+3=>x=+/-3^½ => A=(+3^½, +2), C=(-3^½, +2)
x^2-y-1=0 =>y(-3)=>x^2-(-3)-1=0=>x^2=-3 => Impossível reais.
Reta AB com os pontos A=(+3^½, +2) e B=(0,– 7^1/2)
B=(0,-7^½) => Reta 2.68x-y=+7^½
Reta BC com pontos B=(0,– 7^1/2) e C=(-3^½, +2)
B=(0,-7^½) => Reta -2.68x-y=+7^½
Ângulo B = 110,5º-69,5º= 41º
Ângulo A = Ângulo C = 69,5º
I=(1,-6)=> 2=(y+6)/(x-1) =>2x-2=y+6 => 2x-y=8
J=(5,2)=> 2=(y-2)/x-5)=>2x-10=y-2=>2x-y=+8
4x^2-y^2-32x+8y=-52=> 4x^2-32x=> 4(x^2-8x)=4(x+a)^2=> 4(x^2+2ax+a^2)=> -8x=+2a=> a=-4=> 4(x-4)^2=>4(x^2-8x+16)=> 4x^2-32x+64
-(y^2-8y)=>y^2-8y=>(y+b)^2=>y^2+2yb+b^2=>-8y=+2b=>b=+4=>(y-4)^2=>y^2-8y+16=>(*-1)=>-y^2+8y-16=>
4x^2-32x+64-y^2+8y-16=-52+64-16 => 4(x-4)^2-(y-4)^2=-4 => Centro = (+4,+4)
-(x-4)^2+(y-4)^2/4=1=>a^2=4=>a=+/-2; b^2=-1=>a ou b fora dos reais => Hipérbole
considerando ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0 => Elipse=> a≠b,a ou b= negativo temos Hipérbole.
Resolução completa com gráfico em https://geoconic.blogspot.com/p/13.html
11. (Ufpe 2013_4) A seguir, estão ilustradas partes dos gráficos das parábolas A e B, com equações respectivas y=-x^2+8x-13 e y=x^2– 4x–3. Gráfico
Analise as proposições abaixo, acerca dessa configuração.
(V) Um dos pontos de interseção das parábolas A e B tem coordenadas (1,–6).
y=-x^2+8x-13 e y=x^2–4x–3 => y=y => -x^2+8x-13=x^2–4x–3 => -2x^2+12x-10=0 :(-2)
(F ) O vértice da parábola A é o ponto (4,2).
-y=x^2-8x+13 =>x^2-8x=-y-13=>(x+a)^2=>x^2+2ax+a^2=>2ax=-8x=>a=-4=> (x-4)^2=>
x^2-8x+16=>(x-4)^2=-y-13+16=> (x-4)^2=-(y-3)=> A=(+4,+3).
(F ) A reta que passa pelos pontos de interseção das parábolas A e B tem equação y= 2x – 6.
I=(1,-6) =>y=2x-6 =>-6=2*1-6 =>-6=-4 - Falso
J=(+5,+2)=>+2=2*5-6=>+2=4=> Falso
Considerando os pontos I=(1,-6) e J=(+5,+2), sua reta será?
m=(y-y0)/(x-x0) => (-6-2)/(+1-5)=>m=-8/-4 =>m=2
I=(1,-6)=> 2=(y+6)/(x-1) =>2x-2=y+6 => 2x-y=8
J=(5,2)=> 2=(y-2)/x-5)=>2x-10=y-2=>2x-y=+8
(F ) A distância entre os vértices das parábolas A e B é 102^½ .
Va=(4,3) => Vb=> y=x^2– 4x–3 => x^2-4x=y+3 => (x+a)^2=x^2+2ax+a^2=> 2ax=-4x=> a=-2=>(x-2)^2=>x^2-4x+4=>(x-2)^2=y+3+4=> (x-2)^2=y+7 = Vb=(+2,-7).
d^2=(x-x0)^2+(y-y0)^2 => d^2=(4-2)^2+(3+7)^2=> d^2=4+100 => d^2=104
( V ) A parábola B intercepta o eixo das ordenadas no ponto com coordenadas (0,–3).
P=(0,-3)=> y=x^2– 4x–3=> y=0*0-3=> y=-3
10 (Uem 2013_3) Sobre a cônica de equação x^2+4y^2=+ 9, assinale o que for correto. 01) Trata-se de uma elipse; 02) A cônica intercepta o eixo das abscissas em (3,0) e (−3,0); 04) Se A e B são pontos da cônica que não são colineares com os focos D e E da cônica, os triângulos ADE e BDE possuem o mesmo perímetro; 08) A circunferência centrada na origem e de raio 2^½ tangencia essa cônica; 16) O ponto (+2*2^½ , 1/2) pertence à cônica. Gráfico
Calculando os determinantes:
ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0 =>ab, c=d=e=0 => f=-1 a^2x^2+b^2y^2=1 =>
x^2+4y^2=+ 9 =>(:9)=> (x^2/9)+4/9(y^2)=1 => a=⅓ b=⅔ => a<b, eixo focal paralelo as abscissas.
Verificando a distância focal
b^2=a^2+c^2=> (⅔)^2=(⅓)^2+c^2=> c^2=4/9-1/9=> c^2=3/9=>c=(+/-3^½)/3
Df=2*3^½)/3. D=((+⅓)*3^½, 0) e E=((-⅓)*3^½, 0)
Determinando o centro e Excentricidade
x^2+4y^2=+ 9 => (x-0)^2+4(y-0)^2=9 => Centro = Origem.
E=c/a => E=(3^½)/3/3=>E=3^½/9
x^2/a^2+y^2/b^2=1 => b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2
01) Trata-se de uma elipse? - Verdadeiro
02) A cônica intercepta o eixo das abscissas em P1=(3,0) e P2=(−3,0)?
P1=(3,0) =>(x-0)^2+4(y-0)^2=9 => (3-0)^2+4(0-0)^2=9=>9=9 - Sim
P2=(−3,0)=(x-0)^2+4(y-0)^2=9 => (-3-0)^2+4(0-0)^2=9=>9=9 - Sim
04) Se A e B são pontos da cônica que não são colineares com os focos D e E da cônica, os triângulos ADE e BDE possuem o mesmo perímetro; Sim é característica dos focos.
08) A circunferência centrada na origem e de raio 2^½ tangencia essa cônica;
(x-0)^2+(y-0)^2=2 => x^2+y^2=2 => x^2=2-y^2 => x^2+4y^2=+ 9 => x^2=+9-4y^2 => x^2=x^2 => 2-y^2=+9-4y^2 => -y^2+4y^2=+9-2 => 3y^2=+7 => y^2=7/3.
x^2+7/3=2 => 3x^2+7=2 => 3x^2=-7+2 => 3x^2=-5 => Impossível raiz de número negativo. Não há tangência.
16) O ponto (+2*2^½ , +2) pertence à cônica. => (x-0)^2+4(y-0)^2=9 =>(2*2^½-0)^2+4(+1/2-0)^2=+9=>4*2+1=9 => 9=9. Verdadeiro.
9. “A” (Epcar (Afa) 2013) Sobre a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse de equação x^2+9y^2-8x-54y+88=0, é correto afirmar que
a) tem raio igual a 1. b) tangencia o eixo das abscissas. c) é secante ao eixo das ordenadas. d) intercepta a reta de equação 4x – y=0.
x^2+9y^2-8x-54y+88=0 => x^2-8x+9y^2-54y=-88
x^2-8x=(x+a)^2=>x^2+2ax+a^2=>2ax=-8x=>a=-4=>(x-4)^2=>x^2-8x+16
9y^2-54y=9(y^2-6y)=>9(y+b)^2=>9(y^2+2yb+b^2)=>2yb=-6y=>y=-3=>9(y-3)^2=> 9(y^2-6y+9)=>9y^2-54y+81.
(x-4)^2+9(y-3)^2=-88+81+16=>(x-4)^2+9(y-3)^2=9 (:9)=> (x-4)^2/9+(y-3)^2=1
(x-4)^2/9+(y-3)^2=1 => (x+x0)^2/a^2+(y+y0)/b^2=1
Diâmetro a = 3, Diâmetro b=1, Centro em C=(+4,+3)
Circunferência de menor raio possível é (x-4)^2+(y-3)^2=1^2
4x-y=0 => y=4x => (x-4)^2+(y-3)^2=1^2 => (x-4)^2+(4x-3)^2=1=> x^2-8x+16+16x^2-24x+9=1 => 17x^2-32x+24=0
Delta= b^2-4ac => 32^2-4*17*24 => 1024-1632 = Delta menor que zero, não intercepta.
a) a circunferência de menor tem raio igual a 1. Correto, pois a circunferência é dada pela equação de raio 1 (x-4)^2+(y-3)^2=1^2.
b) a circunferência de menor tangencia o eixo das abscissas (y=0), lançando na equação da circunferência (x-4)^2+(y-3)^2=1^2 => (x-4)^2+(0-3)^2=1^2 => x^2-8x+16+9=1 => x^2-8x+24=0 => Delta=b^2-4ac=> 64-4*1*24 => 64-96=-32, Delta negativo, então nenhum ponto da abscissas intercepta a circunferência.
c) a circunferência é secante ao eixo das ordenadas (x=0)=> (x-4)^2+(y-3)^2=1^2 =>
(0-4)^2+(y-3)^2=1^2 => y^2-6y+9+16=1=> y^2-6y+24=> Delta=b^2-4ac=> 36-4*1*+24
=>36-96=-60, Delta negativo, então nenhum ponto da ordenada intercepta a circunferência.
d)a circunferência intercepta a reta de equação 4x – y=0? Não. (x-4)^2+(y-3)^2=1^2
4x-y=0 => y=4x => (x-4)^2+(y-3)^2=1^2 => (x-4)^2+(4x-3)^2=1=> x^2-8x+16+16x^2-24x+9=1 => 17x^2-32x+24=0
Delta= b^2-4ac => 32^2-4*17*24 => 1024-1632 = Delta menor que zero, não intercepta.
Gabarito esta errado!!
8. (Udesc 2013_8) A área delimitada por uma elipse cuja equação é x^2/a^2+y^2/b^2=1, é dada por A=abπ . Então, a área da região situada entre as elipses de equações 16x^2+ 25y^2=+400 e 16x^2+ 9y^2=+144 é:
16x^2+ 25y^2=+400 (:400)=> 16/400x^2+25/400y^2=+1 => x^2/25+1y^2/16=1.
P1=Eixo maior 5, eixo menor 4 => área de P1 = 20π
16x^2+ 9y^2=+144(:144)=>x^2/9+y^2/16=1
P2=Eixo maior 4, eixo menor 3 => área de P2= 12π
(x+x0)^2/a^2+(y+y0)/b^2=1
16x^2+ 25y^2=+400 => Centro Zero gráfico
16x^2+ 9y^2=+144 => Centro Zero
AP1-AP2= 20π-12π = 8π.
7. (Fgv 2014) No plano cartesiano, há dois pontos R e S pertencentes à parábola de equação y=x^2 e que estão alinhados com os pontos A=(0,3) e B=(4,0). A soma das abscissas dos pontos R e S é: Resolução com Gráfico em https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_32.html Gráfico
A=(0,3) e B=(4,0) => tgϴ=senϴ/cosϴ =>tgϴ=m=(y-y0)/((x-x0) => (3-0)/(0-4) => tgϴ=m=-3/4 => m=(y-y0)/((x-x0) =>P(0,3) => -¾=(y-3)/(x-0) => -3x=4y-12 => -3x-4y=-12 => 3x+4y=12
3x+4y=12 e y=x^2 => 3x+4x^2=12 => 4x^2+3x-12=0
3x+4y=12 e y=x^2 => 3x+4x^2=12 => 4x^2+3x-12=0
(xa+xb)=-b/a => -¾ e xa*xb=c/a
ax2 + bx + c = 0
(x1+x2)=> x1=(-b+Δ^½)/2a e x2=(-b-Δ^½)/2a =>(-b+Δ^½)/2a+(-b-Δ^½)/2a =>-2b/2a=>
(x1+x2)=-b/a
Confirmando
3x+4y=12 e y=x^2 => 3x+4x^2=12 => 4x^2+3x-12=0 => xa=1.40 e xb=-2.15
ya=1.96 e yb=4.63 Ia=(1.4, 1.96) e Ib=(-2.15, 4.63)
xa+xb= -0,75
4. (Uema 2014) Uma família da cidade de Cajapió – MA comprou uma antena parabólica e o técnico a instalou acima do telhado. A antena projetou uma sombra na parede do vizinho, que está reproduzida abaixo, coberta com uma folha quadriculada.
F (3, 2) e V=(-½, 2) => vemos que é uma parábola horizontal e com função linear (x) crescente, então m=+1, e está modulando “x”, => assim (y-2)^2=x+½ . Devemos acrescentar que se a parábola é horizontal, “m” será qualquer número positivo modulando “x” em (y-2)^2=m(x+½); d=(3-(-½)) => d=7/2 =. 4d=ca => ca=m => 14 => m=14 => (y-2)^2=m(x+½) => (y-2)^2=14(x+½) => (y-2)^2=14x+7=>(y-2)^2=7(2x+1)
6. (Espcex (Aman) 2014) Sobre a curva 9x^2+ 25y^2–36x+50y–164=0, assinale a
alternativa correta.
a) Seu centro é (– 2,1).
b) A medida do seu eixo maior é 25.
c) A medida do seu eixo menor é 9.
d) A distância focal é 4.
e) Sua excentricidade é 0,8.
Resolução com gráfico em https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_23.html
9x^2+ 25y^2–36x+50y–164=0 => 9x^2-36x+25y^2+50y=164 Gráfico
9x^2-36x=>9(x^2-4x)=>(x+a)^2=>x^2+2ax+a^2=>2ax=-4x=>a=-2=>9(x-2)^2=>9(x^2-4x+4)=> 9x^2-36x+36
25y^2+50y=>25(y^2+2y)=>(y+b)^2=>y^2+2by+b^2=>2by=2y=>b=1=>25(y+1)^2=>25(y^2+2y+1)=>25y^2+50y+25.
9(x-2)^2+25(y+1)^2=164+36+25=>9(x-2)^2+25(y+1)^2=225. Centro C=(+2,-1), Gráfico.
A elipse tem dois eixos abscissas e ordenadas, que tem um ponto em comum o centro, Assim o eixo x, teremos a reta y=-1, e o eixo y, teremos a reta x=+2.
A intersecção da elipse com eixo y=-1, o delimitará.
d=(+7-(-3) => dx=10, Eixo abscissa=+ 10
A intersecção da elipse com eixo x=+2, o delimitará.
d=+2-(-4)=> dy=+6=. Eixo da ordenada = +6.
Distância Focal
(dx/2)^2=(dy/2)^2+(c/2)^2 => (10/2)^2=(6/2)^2+c^2/4 => 25=9+c^2/4 => 100-36=c^2 =>
c^2=64 => /c/=+/-8 => c=+8. A distância focal 8. O foco está no eixo maior (referência) na reta y=+1, equidistante +/-4 do centro,assim o F1=(+6,-1) e F2=(-2,-1)
Excentricidade= distância focal / eixo referência => +8/10 = Excentricidade= 0.8, adimensional, pois temos a razão de duas unidade de distância.
Questão 5
(Unifor CE 2014-1) Uma bola é jogada dentro de uma cesta cuja superfície é obtida girando a parábola y = x² em torno do eixo y. O centro da bola ocupa um ponto de altura y = 3 . O raio da bola é de: Gráfico
y=x^2 => (x-0)^2=(y-0). Vertical com concavidade para cima, com Vértice V=(0,0), P=(0,3), faz parte do eixo da parábola, que é definido pela reta x=0; e também fará parte de uma reta perpendicular ao eixo y=3, e esta reta intercepta a parábola no ponto
(x-0)^2=(y-0) e x=+/- 3^½ =>I=(3^0.5, 3) e I’=(-3^0.5,3). Assim o raio será 3^0.5 da circunferência, como o centro em C=(0,3), determinada pela fórmula (x-0)^2+(y-3)^2=3.
y = x² => (x-0)^2=(y-0) => ca=+1, d=4*ca => d=4, Eixo focal da parábola será igual a y=4, e sua Diretriz será -4.
Se tivéssemos o centro da bola no foco da parábola, a bola caberia exatamente dentro da parábola, vejamos (x-0)^2+(y-4)^2=16
(x-0)^2+(y-3)^2-r^2=> y=x^2 => x^2+y^2-6y+9-r^2 => x^2+(x^2)^2-6(x^2)+9-r^2 => x^4+x^2-6x^2+9-r^2=0 => x^4-5x^2+3^2-r^2 => k=x^2 => k^2-5k+3^2-r^2=0 =>
k^2-5k+3^2=r^2 => Delta=zero = -b/2a => xv=5/2 => yv=(5/2)^2-5(5/2)+9 => yv=11/4.
V=(5/2,11/4) => yv=x^2 => 11/4=x^2.
k^2-5k+3^2=r^2, e k=x^2 => ((5/2)^½)^2+
x^4-5x^2+3^2=r^2 =>
Mas a circunferência deverá estar totalmente inscrita na parábola, tendo I=(3^0.5, 3) e I’=(-3^0.5,3), como pontos de tangência.???
Sem solução
Uma circunferência de centro em P(c, c), com c ≠ 0, tangencia o eixo das abscissas e o eixo das ordenadas. Sua equação é:
Uma circunferência tem fórmula (x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2, Onde r é o raio, e x0 e y0, serão o centro da circunferência. Se ela, tangencia o eixo das abscissas e o eixo das ordenadas, então deverá atender a condição (x,0) e (0,y), assim (0-x0)^2+(0-y0)^2=r^2,
x0^2+y0^2=r^2
x-x0=x0 =>x=2x0 e y=2y0. Se c=2 C=(2,2) => x0=y0=1 => (x-1)^2+(y-1)^2=r^2.
Veja que o raio é determinante para o tangenciamento, e o mesmo deverá ser a distância do ponto da abscissa ou ordenada até a origem, que é +1, então o raio será igual a xo=y0=r=1, no exemplo acima.
Assim x0=y0=c. (x-c)^2+(y-c)^2=c^2 ou x^2-2cx+c^2+y^2-2cy+c^2=c^2 => x^2+y^2-2cx-2cy+2c^2=c^2 =>x^2+y^2-2cx-2cy+2c^c^2=0 . Gráfico
Dado o ponto P(5,4) e a circunferência de equação x^2 + y^2 – 2x – 2y – 1 = 0, a equação da circunferência concêntrica com a circunferência dada e que passa por P é:
x^2 + y^2 – 2x – 2y – 1 = 0 => x^2-2x+y^2-2y=+1
x^2-2x =>(x+a)^2=x^2+2ax+a^2=>-2x=+2ax=a=-1=>(x-1)^2=>x^2-2x+1
y^2-2y=>(y+b)^2=y^2+2by+b^2=>2by=-2y=>b=-1=>(y-1)^2=>y^2-2y+1
(x-1)^2+(y-1)^2=+1+1+1 => (x-1)^2+(y-1)^2=+3, Circunferência cujo o C=(+1,+1), de raio 3^½ .
P=(5,4) será ponto de uma circunferência cuja o centro será necessariamente C=(+1,+1)
(5-1)^2+(4-1)^2=p => p=16+9 => p=25.
Resolução completa com gráfico em https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_85.html
Resposta = (x-1)^2+(y-1)^2=25 => x^2-2x+1+y^2-2y+1=25 => x^2+y^2-2x-2y-23=0
Resposta = (x-1)^2+(y-1)^2=25
Determine a posição de P em relação à circunferência λ nos casos:
a) P (-1, -4) e (λ): x2 + y2 – 6x + 4y +3 = 0
b) P (1 ,1) e (λ): x2 + y2 + 2y – 80 = 0
c)Calcule a área do círculo que é a solução de x2 + y2 – 4x + 6y + 8 ≤ 0
d) Qual é a posição da reta (r) 5x + 12y + 8 = 0 em relação à circunferência x2 + y2 - 2x = 0?
e) Dadas a reta (r) 3x + y = 0 e a circunferência (λ) x2 + y2 + 4x - 4y – 8 = 0, obtenha:
a posição relativa de r e (λ)
e1) a intersecção de r com (λ)
e2) Determine c de modo que a reta (r) 4x - 3y + c = 0 seja exterior à circunferência (λ) x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0
e3) Determine a equação da reta que passa pelo centro da circunferência de equação x2 + y2 - 4x + 2y + 1 = 0 e é perpendicular à reta de equação x + 2y – 14 = 0.
A) P (-1, -4) e (λ): x^2 + y^2 – 6x + 4y +3 = 0 => vejamos inicialmente se P pertence a curva. 1+16+6-16+3 =0, Gráfico
x^2-6x+y^2+4y=-3 =>
x^2-6x => (x+a)^2 => x^2+2ax+a^2 => 2ax=-6x => a=-3 => (x-3)^2 => x^2-6x+9
+y^2+4y => (y+b)^2 => y^2+2by+b^2 => 2by=+4y => b=2 =>(y+2)^2 => y^2+4y+4
(x-3)^2+(y+2)^2=-3+9+4 => (x-3)^2+(y+2)^2=10. Trata-se de uma circunferência de centro C=(+3,-2) e raio 10^½ .
Resposta A) P (-1, -4) este Ponto está no terceiro quadrante, NÃO está inscrito na circunferência (x-3)^2+(y+2)^2=10 e NÃO é ponto do perímetro desta circunferência.
B) P=(1 ,1) e (λ): x^2 + y^2 + 2y – 80 = 0 => 1+1+2-80=0 => Gráfico
x^2 + y^2 + 2y – 80 = 0 =>
y^2 + 2y => (y+a)^2 => y^2+2ay+a^2 => 2ay=2y => a=1 => (y+1)^2 => y^2+2y+1
x^2 + (y+1)^2 =80+1 => (x+0)^2+(y+1)^2=81; Circunferência de raio 81^½ , cujo o centro é C’= (0, +1).
Resposta B) este Ponto P=(1,1) está no primeiro quadrante, NÃO está inscrito na circunferência (x+0)^2+(y+1)^2=81 e NÃO é ponto do perímetro desta circunferência
C) Calcule a área do círculo que é a solução de x2 + y2 – 4x + 6y + 8 ≤ 0
x^2 + y^2 – 4x + 6y + 8 =0 => x^2-4x+y^2+6y=-8
x^2-4x => (x-a)^2 => x^2-2ax+a^2 =>-4x=-2ax =>a=2 =>(x-2)^2=>x^2-4x+4
y^2+6y=>(y+b)^2=>y^2+2yb+b^2=>+6y=2yb=> b=3=>(y+3)^2=>y^2+6y+9.
(x-2)^2+(y+3)^2=-8+4+9=>(x-2)^2+(y+3)^2=+5. Circunferência de centro Cz=(+2,-3), e raio = 5^½ . Área= πr^2 => 3,14*5 => Resposta C) Área = 15,7 um^2
D) Qual é a posição da reta (r) 5x + 12y + 8 = 0 em relação à circunferência x^2 + y^2 - 2x = 0?
Reta 5x + 12y + 8 = 0 => 12y= -8-5x => y=(-5/12)(x+8/5) => tgዐ = -5/12 => ዐ = -22,62° => ዐ=180°-22,62 => ዐ= +157,18°
Método alternativo.
5x=-12y-8 => x=-12/5(y+8/12) => m=(y-y0)/(x-x0) => P’=(0, yo) => 5*0+12y+8=0 => 12y=-8 => y=-⅔ => P=(0, -⅔) =>
P”=(xo,0) => 5x+12*0=-8 => x=-8/5 => P’=(-8/5,0)
m=(y-y0)/(x-xo) => (-⅔-(0)) / (0-(-8/5)) =>m=-⅔ / +8/5 => m=-⅔ *+⅝ => m=-5/12.
x^2 + y^2 - 2x = 0 => x^2-2x=-y^2 => x^2-2x => (x-a)^2 => x^2-2ax+a^2 => -2x=2ax =>
a=-1 => (x-1)^2 => x^2-2x+1=-y^2 => (x-1)^2=-y^2+1 => (x-1)^2+(y+0)^2=+1 => C=(+1,0), com raio igual a 1.
(x-1)^2+((-5/12)(x+8/5))^2=+1 e x=8/13 => y=(-5/12)(8/13+8/5) => y=(-5/12)(40/65+104/65) =>y=(-5/12)(144/65) => y=-12/13 = I=(8/13, -12/13)
Resposta D) A reta y=(-5/12)(x+8/5) tangencia no ponto I=(8/13, -12/13) a circunferência (x-1)^2+(y+0)^2=+1
E) Dadas a reta (r) 3x + y = 0 e a circunferência (λ) x2 + y2 + 4x - 4y – 8 = 0, obtenha:
a posição relativa de r e (λ)
Reta: 3x+y=0 => 3x=-y => y=-3x => (y-0)=-3(x-0) => m=-3 => Tgዐ=m => Tgዐ=-3 => ዐ=3(-45°), três voltas na posição 360°-45 => ዐ=135°.
Curva x^2 + y^2 + 4x - 4y – 8 = 0 => x^2+4x+y^2-4y=+8
x^2+4x=>(x+a)^2=>x^2+2ax+a^2=>2ax=+4x=>a=+2=>(x+2)^2=>x^2+4x+4
y^2-4y=>(y+b)^2=>y^2+2by+b^2=>2by=-4y=>b=-2=>(y-2)^2=>y^2-4y+4
(x+2)^2+(y-2)^2=+8+4+4 => (x+2)^2+(y-2)^2=+16. Circunferência de Centro C=(-2,+2) e raio 16.
y=-3x e (x+2)^2+(y-2)^2=+16 => (x+2)^2(-3x-2)^2=+16 => x^2+4x+4+9x^2+12x+4=16 => 10x^2+16x-8=0 => x=2/5, x’= -2 => y=-3x => y=-3(2/5) => y=-6/5; y’=-3*-2 => y=+6
=> Ii=(2/5, -6/5) e II=(-2, +6)
Resposta E => A reta 3x + y = 0 intercepta a circunferência x^2 + y^2 + 4x - 4y – 8 = 0, nos pontos Ii=(2/5, -6/5) e II=(-2, +6), sem passar pelo seu centro Cc=(-2,+2)
E1) a intersecção de r com (λ) é Ii=(2/5, -6/5) e II=(-2, +6)
E2) Determine c de modo que a reta (r) 4x - 3y + c = 0 seja exterior à circunferência (λ) x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0
x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0 => x^2-2x+y^2-2y=+1
x^2-2x => (x-a)^2 => x^2-2ax+a^2 => -2x=2ax => a=-1 => (x-1)^2 => x^2-2x+1
y^2-2y => (x-1)^2 => y^2-2y+1
(x-1)^2+(y-1)^2 = +1+1+1 => (x-1)^2+(y-1)^2 = +3 => Cd=(+1,+1) e Raio = 3^½
4x - 3y + c = x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 => -c=x^2+y^2-6x+y+1 =>
x^2-6x =>(x-a)^2 =>x^2-2ax+a^2=>-6x=-2ax =>a=+3=>(x-3)^2=>x^2-6x+9
y^2+y=>(y-b)^2=>y^2-2by+b^2=>+1y=-2by=>b=-½=>(y+½)^2=>y^2+y+¼
(x-3)^2+(y+½)^2=-c+9+¼ => (x-3)^2+(y+½)^2=-c+ 37/4
4x - 3y + c = 0 => 4x - 3y + c = 3y=4x+c => y=4/3(x+c) => tgዐ=4/3
Vamos usar o Centro da Circunferência Cd=(+1,+1) => e aplicar na reta y=4/3(x+c), onde c=0, determinando assim que esta reta passe no centro do circunferência. Teremos assim a reta y-y0=4/3(x-x0+c) =>c=0 => y-1=(4/3)(x-1).
A reta que passa pelo centro perpendicular será y-1=(-3/4)(x-1).
Esta nova reta y-1=(-3/4)(x-1), interceptará a circunferência x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0
Assim y-1=(-3/4)(x-1) => y=(-3/4)(x-1)+1, substituindo em x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0
x^2+((-3/4)(x-1)+1)^2-2x+2((-3/4)(x-1)+1)+1=0
Raio = 3^½ =>Cd=(1,1),r=d=3^½ => d^2=(x-x0)^2+(y-y0)^2 => 3=(x-1)^2+(y-1)^2
y-1=(-3/4)(x-1) => y-1=(-3/4)*(2.38-1) => y=-0.035, e y-1=(-3/4)(x-1) => y-1=(-3/4)(-0.38-1) => y’=2,035 Id=(2.38, -0.035) ID=(-0.38, +2.035)
Considere y-1=(4/3)(x-1) e 4x - 3y + c = 0
Limite Id = y+0.035=(4/3)(x-2.38) => 3y+0,165=4x-9,52 => 4x-3y-9,685=0
Limite ID= y-2.035=(4/3)(x+0.38) => 3y-6,07=4x+1,53 => 4x-3y+7,6=0
Resposta E2 - Para “c” pertencer a circunferência ou esta inscrito na mesma, faz-se necessário atender a seguinte condição: -9,685 <= c <= 7,600. Gráfico
E3) Determine a equação da reta que passa pelo centro da circunferência de equação x2 + y2 - 4x + 2y + 1 = 0 e é perpendicular à reta de equação x + 2y – 14 = 0.
x^2 + y^2 - 4x + 2y + 1 = 0 => Gráfico
x2 + y2 - 4x + 2y + 1 = 0 e é perpendicular à reta de equação x + 2y – 14 = 0.
x^2-4x=>(x-a)^2 =>x^2-2ax+a^2=>-2ax=-4x=>a=2=>(x-2)^2=>x^2-4x+4
y^2+2y=>(y+b)^2=>y^2+2by+b^2=>+2y=2by=>b=+1=>(y+1)^2=>y^2+2y+1
(x-2)^2+(y+1)^2=-1+4+1=>(x-2)^2+(y+1)^2=+4, Circunferência de centro C=(+2,-1), e raio 2.
x + 2y – 14 = 0 => x + 2y =>y=(½)-x+14 =>(y+0)=(-½)(x-14) => P=(+14,0); deve seguir o modelo (y+0)=(-½)(x-14), então para passar pelo centro Ce=(+2,-1) => (y+1)=(-½)(x-2).
A reta (y+1)=(-½)(x-2) é paralela a reta (y+0)=(-½)(x-14), pois m=-½ , em ambas equações. Para a reta que se pede, que é perpendicular, n=-m^-1, assim n=-(-½)^-1=>
n=+2, então Resposta: (y+1)=+2(x-2).
Respostas:
Determine a posição de P em relação à circunferência λ nos casos:
a) P (-1, -4) e (λ): x2 + y2 – 6x + 4y +3 = 0. Resposta A) P (-1, -4) este Ponto está no terceiro quadrante, NÃO está inscrito na circunferência (x-3)^2+(y+2)^2=10 e NÃO é ponto do perímetro desta circunferência.
b) P (1 ,1) e (λ): x2 + y2 + 2y – 80 = 0. Resposta B) este Ponto P=(1,1) está no primeiro quadrante, NÃO está inscrito na circunferência (x+0)^2+(y+1)^2=81 e NÃO é ponto do perímetro desta circunferência
c) Área = 15,7 um^2.
d) A reta y=(-5/12)(x+8/5) tangencia no ponto I=(8/13, -12/13) a circunferência (x-1)^2+(y+0)^2=+1
e) A reta 3x + y = 0 intercepta a circunferência x^2 + y^2 + 4x - 4y – 8 = 0, nos pontos Ii=(2/5, -6/5) e II=(-2, +6), sem passar pelo seu centro Cc=(-2,+2)
e1) a intersecção de r com (λ) é Ii=(2/5, -6/5) e II=(-2, +6)
e2) Para “c” pertencer a circunferência ou esta inscrito na mesma, faz-se necessário atender a seguinte condição: -9,685 <= c <= 7,600.
e3) (y+1)=+2(x-2).
2. (Fuvest 2014) Considere a circunferência λ de equação cartesiana x^2+ y^2- 4y=0 e a parábola α de equação y= 4-x^2 . Gráfico
a) Determine os pontos pertencentes à interseção de λ com α.
b) Desenhe, no par de eixos dado na página de respostas, a circunferência λ e a parábola α. Indique, no seu desenho, o conjunto dos pontos (x,y), que satisfazem, simultaneamente, as inequações x^2+ y^2- 4y<=0 e y=> 4-x^2 .
a) x^2+ y^2- 4y=0 e y= 4-x^2 => y^2+x^2-4=0 => -x^2=y-4 => y^2+x^2-4=0 => x^2=-y+4
-y+4+y^2-4y=0 => y^2-5y+4=0 => y=+4, e y’=+1. Se y= 4-x^2 => +4=+4-x^2 => -x^2=0 => x=0; +1=4-x^2 => -x^2=-3 => x=+/-3^½ .
Ia=(+3^½ , +1), Ib=(-3^½, +1), V=(0,+4)
b1) x^2+ y^2- 4y=0 => y^2-4y=-x^2 => y^2-4y => (y-a)^2 = y^2-2ay+a^2 => -2ay=-4y
-2a=-4 => a=2 => (y-2)^2 => y^2-4y+4 => (y-2)^2=-x^2 +4 => (y-2)^2+(x+0)^2=4.
Trata-se de uma circunferência com centro = C=(0, +2), de raio 2.
b2) y= 4-x^2 => -(x-0)^2=y-4 => (x-0)^2=-(y-4) => trata-se de uma parábola com função quadrática em x, logo vertical, e como o coeficiente angular é negativo, trata-se sua direção é com concavidade para baixo. Seu vértice V=(0,+4)
b3a) (y-2)^2+(x+0)^2<=4 => Se x = 0 => (y-2)^2<=+4 => y^2-4y+4<=4 => y^2-4y<=0 => y<=0, y’<=+4; (y-2)^2+(x+0)^2<=4, se y=0 => (0-2)^2+(x+0)^2<=4 => +4+x^2<=+4 => x<=0;
b3b) (x-0)^2<=-(y-4) => (x-0)^2+(y-4)<=0 => (x-0)^2<=0 =>x<=0
y-4<=0 => y<=4
Sendo assim, x<=0 e y<=+4, para simultaneamente atender as inequações x^2+ y^2- 4y<=0 e y=> 4-x^2
1. (Uepg 2014) Uma reta e uma parábola se interceptam nos pontos (4,- 5) e (1,- 2). Se a abscissa do vértice da parábola vale 2, assinale o que for correto.Gráfico
01) A reta intercepta o eixo x no ponto (–1, 0).
02) A reta forma com o eixo x um ângulo de 135°.
04) A parábola não intercepta o eixo x.
08) A ordenada do vértice da parábola vale 1.
16) A parábola tem a concavidade voltada para baixo.
I1=(4,-5) e I2=(1,-2) , V=(2,yv)
1 - A reta = (y-y0)=m((x-x0) =>(-5-2) =m(4-1) => m=-1 =>I1=(4,-5) => (y+5)=-(x-4) => x+y=-1 => P1=(-1,0), -1-0=-1 - Correto;
2 - Se m=-1, tg de 1= -45°. A reta está a 180°-45° da abscissa => 135° - Correto;
4 - V=(2,yv) e equação da parábola
(x-xo)^2=m(y-y0)
I1, é ponto da reta e da parábola, I1=(4,-5)=> (4-2)^2=-(-5+yv) => 4=+5-yv => yv= +1
V=(+2,vy) => (x-2)^2=-(y-yv) => (x-2)^2=-(y+1) => V=(+2,+1). Correto, yv=+1.
I1=(4,-5)=> (4-2)^2=n(-5+yv) => n=2/(-5+yv)
I2=(1,-2)=> (1-2)^2=n(-2+yv) => n=1/(-2+yv)
A parábola não intercepta o eixo x, então X=(x0,0), não pertence a parábola (x-2)^2=-(y+1)
e realmente não pertence, pois (0-x0)^2=-(0+1) => x0^2=-1, não existe nos reais, raiz quadrada de número negativo.
Sabe-se que V=(+2,-1). Se m=-1, e a função quadrática está nas abscissas, a parábola terá sentido vertical, e direção para baixo.
Sabe-se que o vértice é o ponto máximo da concavidade, então ela não interceptará o eixo da abscissas, correto portanto.
8 - V=(2,yv) => V=(+2,-1) => yv=+1, correto.
16 - Se (x-2)^2=-(y+1), e m=-1, então a função quadrática está nas abscissas, a parábola terá sentido vertical, e direção para baixo, correto.
01. Em relação à circunferência x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0, e à parábola y = –x2 + 6x – 8, assinale o que for correto:
x^2-2x+1+ y^2+4y+4 = -1 => (x-1)^2+ (y+2)^2 =-1+5 => (x-1)^2+ (y+2)^2 = 2^2 => C=(+1,-2)
Vértice da Parábola => y=-x^2+6x-8 => x^2-6x+8=-y =>x^2-6x=-y-8 => x^2-6x => x^2-2ax+a^2 => a=3 => (x-3)^2 => x^2-6x+9 =>(x-3)^2=-y-8+9 => (x-3)^2=-(y-1) => V=(+3,+1) e C(+1,-2)
Reta => V=(+3, +1) 3x-2y-7=0 => 3(3)-2(1)-7=0 => Correto
=> C=(+1, -2) 3x-2y-7=0 => 3(1)-2(-2)-7=0 => Correto.
ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0 => a=b=c=zero. dx+ey=-f,
=> V=(+3, +1) => 3d+e=-1
C=(+1, -2) => d-2e=-1 => d=-1+2e
Método B
V=(+3,+1) e C(+1,-2) = 4d-e=-2 => 4x-y=-2 =>
y-y0=m(x-x0) => +1+2=m(+3-1) => 3=m*2 => m=3/2
(y-1)=⅔ (x-3) => 2y-2=3(x-3) => 2y-2=3x-9 => 3x-2y=+7
2- y=-x^2+6x-8 e x^2+y^2-2x+4y+1=0 => x^2 +(-x^2+6x-8)^2-2x+4(-x^2+6x-8)+1=0 =>
x^2-2x+1+x^4-12x^3+36x^2+36x^2-96x+64+x^4+16x^2+64-4x^2+24x-32=0
(-x^2+6x-8)^2 => (-x^2+6x)^2 => x^4-12x^3+36x^2
(-x^2-8)^2 => x^4+16x^2+64
(+6x-8)^2 => 36x^2-96x+64
x^4+x^4 = 2x^4
-12x^3
x^2+72x^2+16x^2-4x^2 = 85x^2
-2x-96x+24x = -74x
+1+64+64-32 = + 97
2x^4-12x^3+85x^2-74x+97
8- (x-1)^2+ (y+2)^2 = 2^2 => C=(+1, -2) => Raio = 2, se y=0, então (x-1)^2+ (0+2)^2 = 2^2
(x-1)^2=0, x=+1, sendo o único ponto em comum. T = (+1,0)
16 - (x-1)^2+ (y+2)^2=4 => C=(+1, -2) => Raio = 2, se x=0, então (0-1)^2+ (y+2)^2=4
(y+2)^2+1=4 => y^2+4y+4+1=+4 => y^2+4y+1=0 => b^2-4ac => 16-4*1 => (-b+/-(12)^½ ) / 2a => (-4+/-2*3^½ )/2 =>J1= -2+3^½ e J2=-2-3^½
Projeto Medicina (Puc-rio) O número de pontos de intersecção das duas parábolas y=x^2 e y=2x^2-1. Gráfico
x^2=2x^2-1 => -x^2=-1 => x=+/-1 => y=+1=> P1=(+1,+1), P2=(-1,+1).
Projeto Medicina Considere os pontos P’(0,0), P”(1,1) P”’(2,6). Responda:?
a) Determine a equação da parábola que passa pelos pontos e tem eixo de simetria paralelo ao eixo Y das ordenadas.
“tem eixo de simetria paralelo ao eixo Y das ordenadas.”, ou seja a parábola é vertical, implicando que a função quadrática estará em “x”
Considere a equação geral:Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0, B=C=0 => Ax^2+Dx+Ey+F=0, isolando a função de segundo grau, teremos: Ax^2=-(+Dx+Ey+F) ou (-Ax)^2=+Dx+Ey+F =>
Ax^2=+Dx+Ey+F
P’=(0,0) => 0=0+0+F => F=0
P”=(1,1) =>1=x+y => x=1-y
P’”=(2,6) => 4=2x+6y => 2=x+3y => 2=(1-y)+3y => 2=1+2y => y=½ , então x=1-½ , x= ½.
x=y=½ => x^2=x/2+y/2 => 2x^2=x+y => 2x^2-x-y=0 => x^2-x/2-y/2=0
A=1, D = E=1/2 e F=0
b) Determine outra parábola que passe pelos MESMOS pontos
O problema pede uma nova parábola, então está nova parábola terá necessariamente eixo de simetria em “X” na abscissas portanto. A função quadrática recairá em “y”, e a parábola será vertical => By^2=Dx+Ey+F
P’=(0,0) => 0=0+0+F => F=0
P”=(1,1) =>) 1=x+y => y=1-x
P’”=(2,6) => 36=2x+6y => 18=x+3y => 18=x+3(1-x) => 18=x+3-3x => 15=-2x => x=-15/2
y=1+15/2 => 2y=2+15 => 2y=17 => y=17/2.
y^2=-15x/2+17y/2 => 2y^2=-15x+17y => 2y^2-17y+15x=0
Isso nos diz que a Diretriz desta parábola é paralela ao eixo X das ordenadas, indicando que ela é horizontal, determinando assim a função linear no eixo das abscissas “y”, ou seja y^2=Zero, B=C= Zero, E=1
Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0 => -EY=AX^2+DX+F
P’=(0,0) => -0=0^2+0+F => F=0
P”=(1,1) => -1=(-1)^2A+1D => -1=A+D
P’”=(2,6) => -6=4A+2D => -3=2A+D => -3=2A-1-A => -2=A, D=1
-EY=AX^2+DX+F => -y= -2x+x * (-1) => y=2x^2-x
Sabemos que a equação reduzida da parábola, com eixo de simetria paralela ao eixo Y, é do tipo: y = ax² + bx + c. Substituindo os pontos fornecidos temos:
P1=(0,0) => 0 = a.0 + b.0 + c => c = 0
P2=(1,1) => 1 = a.1 + b.1 , a + b = 1
P3=(2,6) => 6 = 4.a + 2.b , 4a + 2b = 6
Resolvendo o sistema das duas equações acima , temos a = 2 e b = -1
Então a equação desejada é : y = 2.x² - x
resposta : y = 2x² - x
b) determine outra parábola que passe pelos pontos.
Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0 => (-Ax)^2= +Dx+Ey+F => A=D => F=-1
Ax^2=-Dx-Ey-F
P’=(0,0) => 0^2=-0-0+F => F=0
P” =(1,1) => 1^2=-1D-1E => 1=-D-E => -D=-E+1 => D=E-1
P’”=(2,6) => 2^2=-2D-6E => 4=-2D-6E => 4=2(E-1)-6E => 4=2E-2-6E => 6=-4E => E=-3/2,
D=-3/2-1 => D=-5/2
Assinale a alternativa correta com relação a definição de uma parábola.
Uma parábola pode ser representada pela função y(x) = ax2 + bx + c, sendo a pertencente aos reais.
Δ=b^2-4ac Δ=> 0 => b^2-4ac=>0. Números reais podem implicar Δ=negativo, então esta condição por si só não garante uma parábola.
-b/2a => a deve pertencer a qualquer real mais diferente de zero.
O conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo e de uma reta fica desse plano.
Solução A
As coordenadas do vértice da parábola y = 2x2 - 3x + 5 são
2(x^2-3x/2)=y-5 => x^2-3x/2=(y/2-5/2) => x^2-3x/2=> (x-a)^2 => x^2-2a+a^2) => 3/2=-2a => a=-¾ => (x-3/4)^2= (x^2-2x*3/4+9/16) => x^2-3x/2+9/16 => (x-3/4)^2 =y/2-5/2 + 9/16 (9/16 reequilibra a igualdade) => (x-3/4)^2 =y/2-5/2 + 9/16 => (x-3/4)^2 =y/2-31/16) => (x-3/4)^2 =½(y-31/8) = V=(+¾,+31/8)
Solução B
O vértice é o único ponto da parábola onde a função quadrática é una. Para que isso ocorra, necessariamente Delta deverá ser igual a ZERO.
2x^2 - 3x + 5 = 0
Δ=0 => x=-b/2a => x=-(-3)/2*2 => x=¾
y=2*(¾)^2-3*¾+5 => y=31/8, assim V=(¾, 31/8).
Letra C Resolução completa com gráficos.https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_30.html
Solução A
As coordenadas do vértice da parábola y = 2x2 - 3x + 5 são
2(x^2-3x/2)=y-5 => x^2-3x/2=(y/2-5/2) => x^2-3x/2=> (x-a)^2 => x^2-2a+a^2) => 3/2=-2a => a=-¾ => (x-3/4)^2= (x^2-2x*3/4+9/16) => x^2-3x/2+9/16 => (x-3/4)^2 =y/2-5/2 + 9/16 (9/16 reequilibra a igualdade) => (x-3/4)^2 =y/2-5/2 + 9/16 => (x-3/4)^2 =y/2-31/16) => (x-3/4)^2 =½(y-31/8) = V=(+¾,+31/8)
Solução B
O vértice é o único ponto da parábola onde a função quadrática (x) é una. Para que isso ocorra, necessariamente, Delta deverá ser igual a ZERO.
2x^2 - 3x + 5 = 0
Δ=0 => x=-b/2a => x=-(-3)/2*2 => x=¾
y=2*(¾)^2-3*¾+5 => y=31/8, assim V=(¾, 31/8).
Correto - Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, o conjunto dos pares (x, y) que satisfazem uma equação da forma Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0, em que A, B, C, D, E e F são constantes reais, pode representar: um único ponto; uma reta; duas retas; uma circunferência; uma elipse; uma hipérbole; uma parábola; ou um conjunto vazio. A respeito desse assunto, julgue o item seguinte.
A equação x^2+y^2-4x+6y+12=0 representa uma circunferência de centro no ponto (2, -3) e raio 1.
x^2 - 4x => x^2-2a+a^2 => -4=2a => a=-2 => (x-2)^2 => x^2-4x+4
y^2 + 6y => y^2-+6b+b^2 => +6=2b => b=3 => (y+3)^2 => y^2+6y+9
Precisamos equilibrar a igualdade, assim +9+4 = +13
(x-2)^2+(y+3)^2 =-12+13 => (x-2)^2+(y+3)^2=+1, C=(+2,-3) e Raio = 1.
Q790476 Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, o conjunto dos pares (x, y) que satisfazem uma equação da forma Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0, em que A, B, C, D, E e F são constantes reais, pode representar: um único ponto; uma reta; duas retas; uma circunferência; uma elipse; uma hipérbole; uma parábola; ou um conjunto vazio. A respeito desse assunto, julgue o item seguinte.
A equação 9x^2 + 4y^2 + 36x – 8y + 4 = 0 representa uma elipse de centro (1, -2) e semieixos iguais a 2 e 3.
9x^2+36x => 9(x^2+4x) => x^2+2*1*a+a^2 => 4=2a => a=2 =>(x+a)^2 => 9*(x+2)^2 =>9*(x^2+4x+4) => 9x^2+36x+36
4y^2-8y=> 4(y^2-2y) => y^2+2b+b^2 => -2=2b => b=-1 =>4* (y-1)^2 =>4* (y^2-2y+1) => 4y^2-8y+4 =>
Precisamos equilibrar a igualdade, assim 36+4 = 40
9* (x+2)^2 + 4* (y-1)^2 =-4+40 => 9* (x+2)^2 + 4* (y-1)^2 =+36 => C=(-2,+1) e trata-se de uma elipse, pois os coeficientes de x^2 e y^2 não são iguais.
Q896957 A parábola y = x2 e a reta com coeficiente angular 5 que contém o ponto (0, -4) se intersectam nos pontos A e B . A distância entre esses pontos está mais próxima de:
P(0,4), ca igual a 5, ca=tgɸ =>ca=tgɸ=senɸ/cosɸ => tgɸ=4/0 => tgɸ=Indeterm. ɸ=90º
P=(0,-4) =>tgɸ=senɸ/cosɸ => Δy/Δx => 5=(y-(-4)/(x-0) => 5=(y+4)/(x-0) =>5x=y+4 => 5x-y=4
y = x2 => y’=1^2 => y’=+1; y = x2 => y”=4^2 => y”=+16
P1=(+1,+1) e P2=(+4,+16)
d^2=(x’-x”)^2+(y’-y”)^2 =. d^2=(1-4)^2 + (1-16)^2 => d^2=(-3)^2+(-15)^2 => d^2=9+225 => d^2 =234 => d=/15,29/
Q882565 O centro da circunferência λ: x^2 + y^2 - 2x - 4y = 4 é o foco de uma parábola cuja diretriz é o eixo Ox do plano cartesiano. A equação dessa parábola é
x^2 + y^2 - 2x - 4y = 4 =>
x^2-2x => (x^2+2ax+a^2) => -2x=+2ax => a=-1 =>(x-1)^2 => x^2-2x+1
y^2-4y => (y^2+2by+b^2) => -4y=+2bx => b=-2 =>(y-2)^2 => y^2-4y+4
Veja que podemos desdobrar x^2 + y^2 - 2x - 4y = 4.
(x-1)^2+1+(y-2)^2+4=4 => Veja que para equilibrar a igualdade, teremos:que somar +5.
C=F=(+1,+2) =.O ponto diretriz, O foco da parábola (+1,+2) e seu Vértice, ficam no eixo da parábola. Se sua diretriz (x, 0), é sempre perpendicular ao eixo da parábola.
“diretriz é o eixo Ox”, y=0, y será a função linear, F=(+1,+2), concluímos que a diretriz é x=+1 e ponto diretriz Pd=(+1,0). O eixo da parábola (x=1), determina a função quadrática da parábola.
O eixo da parábola será Oy, mas F=(+1,+2), logo o eixo da parábola, sempre perpendicular a diretriz, onde x=+1, determinará o vértice em V=(+1,?).
A distância do foco ao ponto diretriz será igual.
F=(+1,+2) e Pd(+1,0) = Ffp=+2. O vértice será encontrado na metade V1=(+1,+1).
Pela orientação PD,V,F, vemos que o sentido será vertical, e a concavidade progressiva, para cima, logo o coeficiente angular ca será positivo (+), teremos (y-2)^2=+ca(x-2)
d=vf=(FPd/2)=ca/4 => 2/2=ca/4 => ca=4 => (x-1)^2=+4(y-1)
x^2-2x+1=4y-4 => x^2-2x-4y+5=0
Q931362 - Letra B. Veja o Gráfico .Uma função y tem a forma y = ax² + bx + c, sendo os coeficientes “a”, “b” e “c” números reais e a ≠ 0. Assim, considerando a função y = x² - 7x + 5, é correto afirmar que:
x^2-7x=y-5 => (x-A)^2 => x^2-2Ax+A^2 = x^2-7x => -7x=-2Ax => A=7/2 => (x-7/2)^2 = x^2-2*x*7/2+49/4 = y-5+49/4 => (x-7/2)^2= (y+29/4), Parábola com concavidade para cima. sendo assim se mudarmos SOMENTE o sinal da função de segundo grau - (x-7/2)^2= (y+29/4), a concavidade vai para baixo; e se mudarmos SOMENTE o sinal da função de primeiro grau (x-7/2)^2= - (y+29/4), também a concavidade vai para baixo. Logo a função x de primeiro grau e o termo independente “+5” NÃO alteram a concavidade da parábola.
Trata-se de parábola x^2=y. Sendo assim o Vértice será V=(+7/2, -29/4), com coeficiente angular igual a +1, na função “y”, indicando que seu eixo é vertical, o positivo do CA é progressivo indicando que a concavidade para cima.
(x2 / 144) + (y2 / 225) = 1
Na função x^2 temos o divisor 144 =(+/-)12^2, assim no eixo x teremos 24, com centro em zero.
Na função y^2 temos o divisor 225 =(+/-)15^2, assim no eixo y teremos 30, com centro em zero.
Podemos desdobrar (x2 / 144) + (y2 / 225) = 1, para chegar na equação geral das cônicas.
225x^2+144y^2=(144*225) =>225x^2+144y^2-(12*15)^2=0 =>
Considerando a Fórmula Geral das Cônicas = Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0
225x^2+144y^2-180^2=0, estamos diante de uma Elipse, pois A diferente de B.
Os Focos serão encontrados usando-se a distância maior como hipotenusa e a distância menor como um dos catetos. A^2=B^2 -F^2 =>15^2=12^2+F^2 = F^2=225-144 => F^2= 81 => F=/9/. Tomando o Centro como origem do plano cartesiano => F1=(0,+9), F2=(0,-9), F3=(9,0) e F4(-9,0).
Resumido: elipse, pois A diferente de B, com centro na origem e com focos em F1=(0,+9), F2=(0,-9), F3=(9,0) e F4(-9,0)
Curiosidade!!, considere a seguinte equação reduzida da Elipse
225(x+1)^(2)+144(y+1)^(2)=144*225
O centro estaria e C=(-1,-1), x= 30, eixo y=12, mas sob novo eixo formado por x=-1 e y=-1, e os Focos modulariam para F1=(-1,8), F2=(-1,-10), F3=(8,-1) e F4=(-10,-1).
Q505060 - Seja f(X) = 2X² + X + 4; então, sobre sua representação gráfica, podemos afirmar que:
y = 2x² + x + 4 => 2x^2+x=y-4 => (:2) = x^2+x/2=y/2-2 => x^2+x/2 => x^2+x/2+A => (x+A)^2 => x^2+2Ax+A^2 => 2Ax=x/2 => 2A=½ = A=¼. => (x+¼)^2 => x^2+x/2+1/16 => (x+¼)^2=y/2-2+1/16 => (x+¼)^2=y/2 -31/16 => (x+¼)^2=½(y-31/8) => V=(-¼, +31/8) . Trata-se de uma Parábola com CA=1/2 na função linear, sendo assim seu eixo encontra-se no sentido vertical. Vemos que o CA é positivo assim trata-se de uma parábola que cresce a função Y, ou concavidade para cima.
Veja que se V= (-¼, +31/8), onde y=31/8, e a parábola tem para cima sobe, evidente que ela nunca atingirá o eixo das abscissas.
Algebraicamente demonstra-se: Para cortar o eixo “x”, y=0 na curva 2x² + x + 4 , temos 2x² + x + 4=0 => b^2 -4ac => 1^2 -4*2*4 => 1-32 = -31, como somente temos raiz de número negativo em NÁRNIA, ela não corta o eixo “X”.
Q528739 Na figura, tem-se o gráfico de uma parábola.
Vamos descobrir o vértice do triângulo AVB inscrito na parábola, sendo que os vértices A e B estão sobre o eixo das abscissas e o vértice V é o ponto máximo da parábola. A área do triângulo VAB, cujas medidas dos lados estão em centímetros, é, em centímetros quadrados, igual a?
Questão do Demônio!!!!! Seria uma excelente questão pela complexidade e demandando vários conhecimentos de matemática, entretanto favorece “o chute técnico”. O Batráquio elevaria o lado de um triângulo equilátero CHUTADO e acertaria a questão. Outro aspecto condenável - se o aluno que domina a matemática resolvesse desbravar a questão, perderia um tempo precioso, assim façam questões galinhas mortas primeiramente.
Fase 1 - Descobrir a equação geral da parábola.
Vamos lembrar que as cônicas tem a seguinte fórmula geral Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0 => a parábola é forma especial de cônica.
A parábola apresentada tem seu eixo no sentido vertical “y”, direção decrescente (negativa). Assim a função linear será “y”, função quadrática em “x”e o coeficiente angular será negativo, terá então a forma (x-xv)^2=-ca(y-yv) => Voltemos a fórmula geral Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0 => B=C=0 =>Ax^2+Dx+Ey+F=0 =>igualando a função quadrática a 1, para isolá-la, termos => Ax^2= -Dx-Ey-F ou -Ax^2=Dx+Ey+F
A parábola tem três pontos A=(-1,0), B=(3,0) e C=(0,3), com três pontos é possível chegar a sua equação, através de um sistema de três equações e três incógnitas, com matrizes.
=> (-1x)^2=Dx+Ey+F => x^2=Dx+Ey+F
a=D^2
Para A=(-1,0) = (-ax)^2=Dx+Ey+F=> x^2=-x+1 => a=(-1^2), D=(-1), E=0 e F=1 =>
+1= -1 0 1
Para B=(3,0) = (-ax)^2=Dx+Ey+F=> 9x^2=3x+1 => a=(3^2), D=(+3), E=0 e F=1 =>
+9= +3 0 1
Para C=(0,3) = (-ax)^2=Dx+Ey+F=> 0=3y+1 => y=-⅓ => a=(0), D=(0), E=3 e F=1 =>
0= 0 3 1.
Percebe-se que o mais simples é resolver o sistema de inequações, mas preferimos matriz, sendo trabalhoso, mais completo, pronto para quaisquer casos.
Determinante de Validade = \begin{bmatrix}-1 & +0 & +1 \\+3 & -0 & +1 \\ +0 & +3 & +1 \end{bmatrix}
Determinante “D” =\begin{bmatrix}+1 & -0 & 1 \\+9 & -0 & 1 \\ +0 & +3 & 1 \end{bmatrix}
Determinante \begin{bmatrix}-1 & +1 & 1 \\+3 & +9 & 1 \\ +0 & +0 & 1 \end{bmatrix}
Determinante “F” =\begin{bmatrix}-1 & +0 & +1 \\+3 & +0 & +9 \\ +0 & +3 & 0 \end{bmatrix}
x^2=Dx+Ey+F
A=1, termo quadrático que foi isolado..
D=DD/DV => 24/12 = +2
E=DE/DV => -12/12 = -1
F=DF/DV => 36/12 = +3
(-Ax)^2=Dx+Ey+F => x^2=+2x-y+3
Fase 2 - Achar a equação Reduzida
Agora para achar o vértice temos que transformar x^2=+2x-y+3 em uma equação reduzida.
x^2=+2x-y+3 => x^2-2x-3=-y =>x^2=+2x-y+3 => x^2-2x=-y+3 => Decompondo dos quadrados=> x^2-2x => x^2-2x*A+A^2 => -2x=-2xA => A=1 => (x-1)^2 => x^2-2x+1 => (x-1)^2=-y+3+1 => (x-1)^2=-(y-4) =>
Fase 3 - Achar o Vértice
Com a equação reduzida (x-1)^2=-(y-4), concluímos que o V=(+1,+4),.
Fase 4 - Área do triângulo AVB
Considerando o eixo da parábola =>x=1, podemos afirmar também que seu ponto espelho será em E=(1,-4). Veja que temos um losango AVBE e sua área será definida por AVBE = (AB*VE)/2, fórmula geral para área de quaisquer losangos retângulos => AVBE =( 4*8)/2 => AVBE = /16/. O triângulo AVB terá metade destas áreas, AVB=16/2 = 8 cm^2.
Q666927 - Nos gráficos abaixo estão desenhadas uma parábola e uma reta que representam as funções reais f e g definidas por f(x) ax2 + bx + c e g(x) = dx + e , respectivamente.
f(x) ax2 + bx + c => y=ax2 + bx + c => ax^2+bx=-(y-c) = x(ax+b)=-(y-c), se n=-1 e modulando a função “y”,, teremos o eixo da parábola paralelo as ordenadas, e como “n” é negativo a função modulada decresce, assim a parábola é vertical e decrescente, mas não dá para afirmar que é a mesma da figura apresentada.
Vamos apresentar valores: para o Vértice, V=(1,2) => (x-1)^2=-(y-2) => x^2-2x+1=-y+2 => -y=x^2-2x-1 ou y=-x^2+2x+1 => estabelece os sinais de a=-, b=+ e c=+.
Para y = dx + e, o coeficiente angular ca =y/dx, assim “d” e “x” devem ser diferente de zero. Caso a reta passasse na origem, a mesma passaria pelos quadrantes 1 e 3 que são de tangente positiva, trata-se assim de uma reta progressiva. Se ca progressivo, então ca deverá ser positivo, ca=(y/dx), para isso “d” será positivo. Temos y=dx+e, onde neste gráfico “e” necessariamente será negativo, assim será y=dx-e. Veja que “e” é termo independente, mais por força do gráfico necessariamente será negativo. Aqui está a pegadinha, o problema fala de y=dx+e, então o gráfico limita o termo independente para negativo, formando y=dx-e.
Considerando a=-, b=+, c=+, d+ e “e”-, teremos: “D” deve ser diferente de Zero
a) ( a + e ) ⋅ c ≥ b => (-)+(-)*(+)>+ => ->+ . Isso é falso.
b) -e/d < −b *(-1) => e/d>b => -/+ > - => ->+ => Isso é Falso
c) a⋅b⋅c + (e/d)_ > 0 => (-*+*+)+(-)/+>0 => (-) + (-) >0 => ->0. Falso.
d) (−b + a ) ⋅ e > a ⋅ c => (-)+(-) * (-) > -*- => + > (-) . Correto.
Letra A
P=x^2=y => (x+0)^2=(y+0) = O vértice da parábola será a origem O=(0,0). Como o ca da parábola é +1, está na função não linear Y, o eixo da parábola estará em “y” e a mesma será vertical, o sendo positivo, de cima para baixo.
Temos os pontos (0,-4) com coeficiente angular igual a cinco, assim podemos montar a seguinte equação: ca= deltaY/deltax => Para o ponto (0,-4) será Delta X=(x-0), Delta Y=y-(-4)=> 5=y+4/x => 5x-y=+4.
Os pontos de interceptação de 5x-y=+4. em x^2=y, serão encontrados pela sua igualdade, assim 5x-(x^2)=+4 => -x^2+5x-4=0 => x^2-5x+4=0 => x’=+4 e x”=1. Assim y’= 16 e y”= +1
P1=(+4, +16) e P2=(+1, +1)
L=(4,1)
Letra A
P=x^2=y => (x+0)^2=(y+0) = O vértice da parábola será a origem O=(0,0). Como o ca da parábola é +1, está na função não linear Y, o eixo da parábola estará em “y” e a mesma será vertical, o sendo positivo, de cima para baixo.
Temos os pontos (0,-4) com coeficiente angular igual a cinco, assim podemos montar a seguinte equação: ca= deltaY/deltax => Para o ponto (0,-4) será Delta X=(x-0), Delta Y=y-(-4)=> 5=y+4/x => 5x-y=+4.
Os pontos de interceptação de 5x-y=+4. em x^2=y, serão encontrados pela sua igualdade, assim 5x-(x^2)=+4 => -x^2+5x-4=0 => x^2-5x+4=0 => x’=+4 e x”=1. Assim y’= 16 e y”= +1
P1=(+4, +16) e P2=(+1, +1)
L=(4,1)
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