Circunferências Cônicas - Geometria Cartesiana
1a) (x − 3)^2 = 4(y − 1)=> x^2-6x+9=4y-4 => x^2-6x-4y+13=0
;Gráfico Trata-se de uma parábola de centro V=(+3,+1); m=+4, Progressiva, com concavidade para cima . O eixo da parábola será paralelo às Ordenadas, ou seja, xf=xv=+3. Eixo focal será paralelo às Abscissas, F=(+3, yf=yv+m/4), yf=2, F=(3,2), mas F não pertence a parábola. F1 e F2, são pontos comum da parábola (x − 3)^2 = 4(y − 1) e da reta y=2.
(x − 3)^2 = 4(y − 1) e y=2 => (x − 3)^2 = 4(2 − 1) => x^2-6x+9=4 => x^2-6x+5=0 x=5 e x`=1
F1=(5,2) e F2=(1,2).
Reta diretriz será m=4 => d=m/4, e o ponto diretriz encontra-se no eixo da parábola, xf=xv=xd=3, d=(3,yv-m/4) => d=(3, 1-1) => d=(3,0).
Ex=c/a=> c=a=b=1
1b) Gráfico x²+2x-6y+1=0=>x²+2x= 6y-1=>x^2+2x=>(x+a)^2=>x^2+2ax+a^2=> 2ax=2x=> a=1=>(x+1)^2=> x^2+2x+1=6y-1=>(x+1)^2=6y-1+1=> (x+1)^2=6y
(x + 1)^2 = 6y => (x + 1)^2 = 6(y+0) => Vemos uma parábola de Vértice V=(-1,0), com “ca=m” positivo e em “y”. Seu eixo estará na vertical e para cima, assim o eixo da parábola será x=-1. Seu foco será F=(-1,yf), yf=(yv+m/4) => yf=0+3/2 => yf=+3/2, F=(-1, 3/2).
Para se chegar aos focos F1 e F2, lembremo-nos que estão no eixo focal da parábola, que é horizontal, portanto uma reta igual y=3/2 .
(x + 1)^2 = 6y => (x+ 1)^2=6*3/2=> x^2+2x+1=9 => x^2+2x-8=0 => x=2; x=-4
F1=(-4,3/2) e F2=(2,3/2)
Reta diretriz será m=6 => d=m/4, e o ponto diretriz encontra-se no eixo da parábola, xf=xv=xd=-1, d=(-1,yv-m/4) => d=(-1, 0-3/2) => d=(-1,-3/2), d=y=-3/2
Brain) Obtenha a equação e esboce o gráfico da parábola de vértice (0, 0), onde:
a) O parâmetro é 2 e o foco está no semi-eixo positivo das abscissas.
b) A diretriz é r : x − 1 = 0.
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A diretriz é x=1, , Foco, Vértice e o Ponto Diretriz, eixo horizontal da parábola, estarão em D=(1,0), V=(0,0) e F=(-1,0). A função quadrática será em “y” e a função linear da parábola em “x”, e o coeficiente angular negativo devido pois a concavidade é oposta a reta diretriz. como vemos pela posição do foco.
O parâmetro p é a distância entre foco e ponto diretriz p=1-(-1)=>p=2
O Coeficiente angular => -Ca=p*2 => -ca=2*2 => ca=-4.
(y-0)^2=-4(x-0) ou y^2=-4x.
Tendo y^2=-4x, e o eixo focal x=-1, baseado em F=(-1,0), podemos achar os pontos focais da cônica.
y^2=-4x e x=-1 => y^2=-4*-1=> y^2=4=> y=+/-2 => F1=(-1,-2) e F2=(-1,+2)
1c) Gráfico (y − 3)^2 = 10(x − 9) =>y^2-6y+9=10x-90=> y^2-6y-10x+99=0
V=(9,3), ca=10 => crescente sob x, horizontal - eixo y=3, p=ca/2=> p=5=> F=(9+p/2, 3) => F=(+23/2, +3); D=(9-p/2,3)=> D=(13/2,+3). Diretriz é x=13/2 .
Se F=(23/2, 3),o eixo focal será x=23/2, então (y − 3)^2 = 10(23/2 − 9) => y^2-6y+9=23*5-90=>y^2-6y+99-115=0=> y^2-6y-16=0=> y=8; y=-2
F1=(23/2, -2) F2=(23/2, +8)
1d) (y + 9)^2 = −4(x + 5); Vemos que o Vértice V=(-5,-9), e o ca=-4 na função não linear x, assim temos o eixo da parábola em “y”, horizontal e decrescente, da direita para a esquerda. Sua diretriz será após o vértice V=(-5,-9), perpendicular a y=-9. Vértice, Ponto diretriz e Focos encontram-se no eixo da parábola que é x=-5. V=(-5,-9), F=(xf,-9) e
D=(xd, -9).
O coeficiente angular (ca) guarda uma relação com o parâmetro da parábola (p). ca=2p.
Assim p=-2. “P” é a distância entre Foco e Diretriz, tendo yv equidistante. Se V=(-5,-9), xv=-5, então xd=xv-p/2 => xf=-5-(-2/2) => xd=-4; xf=xv+p/2=> xd=-5-1=>yf=-6, teremos
D=(-4,-9); V=(-5,-9) e F=(-6,-9), reta diretriz x=-4.
A reta focal será x=-6 definida por F=(-6,-9). Os Focos F1 e F2 encontram nesta reta, interceptados pela parábola, logo F1=(-6,yf1) e F2=(-6, yf2) => (y + 9)^2 = −4(x + 5)=> (y + 9)^2 = −4(-6 + 5) => y^2+18y+81=+4=> y^2+18y+77=0 => y=-7; y=-11 F1=(-6, -7); F2=(-6, -11).
1e) (x − 2)^2 /16 + (y − 2)^2 /25 = 1; 25*(x¨2-4x+4)+16*(y¨2-4y+4)=400=> 25x^2-100x+100+16y^2-64y+64=400=>25x^2+16y^2-100x-64y-236=0
Vértice V=(+2,+2). a^2=16, a=4; b^2=25, b=5. b^2=a^2+c^2 => 25=16+c^2 => c^2=9, c=3.
Ex=c/b => Ex=⅗, trata-se de uma elipse, pois Ex<1. Se b>a, então seu eixo será paralelo as ordenadas, x=+2. Considere o vértice V=(+2,+2), então F1 e F2 estão equidistantes do centro e no eixo da elipse, assim V=(+2,+2), F1=(+2,yf=yv+c)=> F1=(+2, +1) e F2=(+2,+5) .
O gabarito correto está em 1f.
1f) (x + 1)^2/20 + (y − 1)^2/36 = 1; => 9(x^2+2x+1)+5(y^2-2y+1)=180=> 9x^2+18x+9+5y^2-10y+5=180=> 9x^2+5y^2+18x-10y-166=0
V=(-1,+1), a^2=20, b^2=36, b>a, eixo vertical, x=_1. b^2=a^2+c^2=>63=20+c^2=> c^2=16, c=+/-4.
ex=c/b => 4/6 => ex=2/3
Lembrando que o eixo é x=-1,Se V=(-1,+1), então F1=(-1,yv+4); F2=(-1, yv-4)
V=(-1,1), F1=(-1, +5) F2=(-1, -3)
O gabarito correto está em 1f
1g) Igual acima.
1h) x^2/36 + (y − 2)^2/27=1; 27x^2+36(y^2-4y+4)=26*36 (:3)=> 9x^2+12(y^2-4y+4)=26*12=>9x^2+12y^2-48y+48=312=> 9x^2+12y^2-48y-274=0
V=(0, -2), a^2>b^2, então eixo horizontal, y=-2. c^2=a^2-b^2 => c^2=36-27=> c^2=9 => c=+/-3. Ex= c/a => 3/6 => ex=½, Elipse portanto.
Lembrando que o eixo é y=+2,Se V=(0,+2), então F1=(xv+c, 2); F2=(xv-c, 2)
V=(0, +2) F1=(+3, +2) F2=(-3, +2)
1i) ) y^2/4 − x^2/16 = 1; => 4y^2-x^2=16; C=(0,0); a^2=4=> a=2; -b^2=16=>b=-4, se a>b, e a em y, e o Centro da cônica C=(0,0), logo o eixo da cônica será vertical, e x=0. c^2=a^2+b^2 => c^2=4+16=> c^2=20, c=+/-20^0.5; Ex=c/a=> Ex=20^0.5/2 => Hipérbole.
Os vértices estão no eixo da hipérbole, onde temos a>b, então V=(0, +/-yv);
y^2/4 − x^2/16 = 1=> y^2/4 − 0^2/16 = 1=> y^2 = 4=> y=+/-2; V=(0, +/-2).
C é a distância do centro ao foco. c=+/-2*3^½ e c=(0,0), se eixo x=0, então F=(0,+/-20^0.5)
y=+/-20^0.5
4y^2-x^2=16 => 4(20^0.5)^2-x^2=16 => +/-8
F1=(+8, 20^0.5); F2=(-8, 20^0.5); F3=(+8, -20^0.5) e F4=(-8, -20^0.5)
Não considerar eixo da hipérbole como reta diretriz.
1j) 4(y − 1)^2/9 − 4(x − 3)^2/27 = 1; => a^2=9; b^2=27 => a=3, b= - 3*3^0.5; a>b; a está em y, logo a hipérbole terá eixo vertical. Considerando o Centro da Hipérbole C=(+3,+1), o eixo da hipérbole, onde encontraremos o foco, será x=3.
V=(3,yf) => 4(y − 1)^2/9 − 4(3 − 3)^2/27 = 1; y=5/2 e y=-½.
V=(3,5/2) V0=(3, -0.5)
c^2=a^2+b^2 => c^2=9+27 => c^2=36 => c=+/-6; Excentricidade= c/a => Ex=6/3, Ex=2 => Hipérbole.
F0=(3,yc+c)=> F0=(3,1+6)=>F0=(3,+7). Eixo focal y=+7; F1=(3,-5) y=-5
F2=(xf,+7) => 4(+7 − 1)^2/9 − 4(x − 3)^2/27 = 1 13,06 e -7,06
F2=(13.06, 7); F3=(13.06, -5); F4=(-7.06, 7); F5=(-7.06, -5)
4(y − 1)^2/9 − 4(x − 3)^2/27 = 1=> 4*3(y − 1)^2- 4(x − 3)^2=27=> 12(y^2-2y+1)-4(x^2-6x+9)=27=> 12y^2-4x^2-24y+24x-51=0
k) (x + 3)^2/4 − (y − 1)^2/5 =1=> a^2=4, -b^2=5, Vemos que a>b, sendo a em x, logo o eixo da cônica será horizontal. Se C=(-3,+1), então o eixo das parábola, onde se encontrarão o centro e os vértices e os focos, será y=+1. c^2=a^2+b^2, onde c será a distância do foco até o centro C=(-3,1) da parábola, assim F=(-3+/-c, +1).
c^2=5+4=> 9=>c=3, F=(-3+/-3, +1)=> F0=(0,1), F1=(-6,+1). Os eixos focais serão x=0 e x`=-6.
Os vértices da parábola V=(xv, +1)`e V0=(xv0, +1) encontram-se em y=1. (x + 3)^2/4 − (y − 1)^2/5 =1=> (x + 3)^2/4 − (1 − 1)^2/5 =1=>(x + 3)^2/4 =1=>>(x + 3)^2=4=> x^2+6x+9=4=> x^2+6x+5=0 => xv=-1; xv0=-5, assim V=(-1, +1) e V0=(-5,+1).
Para a parábola em F0, teremos d=-2. Se o vértice V=(-1,+1), a equação dessa parábola será?
Precisamos determinar o coeficiente angular(m). Se a parábola progride através do eixo y=-1, então m será positivo. O eixo está em y, logo esta será a função quadrática, e terá o formato (y-1)^2=m(x+1)=> m=4c=> m=4*3 => m=12=> (y-1)^2=12(x+1)
(x + 3)^2/4 − (y − 1)^2/5 =1 (*20) => 5(x+3)^2-4(y-1)^2=20=> 5(x^2+6x+9)-4(y^2-2y+1)=20
5x^2+30x+45-4y^2+8y-4=20=> 5x^2-4y^2+30x+8y+21=0
Verifique e converta
a) x^2 − 10x + 2y + 23 = 0; => x^2-10x=> (x+a)^2=>x^2+2xa+a^2=> -10x=2xa=>a=-5 (x-5)^2=>x^2-10x+25=>(x-5)^2=+25-2y-23=>(x-5)^2=-2y+2=>(x-5)^2=-2(y-1). Vemos uma parábola de Vértice V=(5,1). Seu coeficiente angular (m) m=-2, e se encontra da função “x”, assim teremos uma parábola com eixo vertical x=5. Como “m”é negativo teremos uma parábola decrescente.
Vértice, Foco e Diretriz estão no eixo da parábola x=5, então serão V=(5,1), F=(5,yf) e D=(5,yd). \yf\=\yd\=yv+/-c=> \yf\=\yd\=1+/-c.
/c/=m/4=> -2/4=/-½/=> c=+/-½ . /yf/=/yd/=1+/-1/2 => yd=3/2 e yf=1/2
Veja a parábola é decrescente, então D=(5,3/2) e F=(5,½).
Vemos o eixo focal y=½. Então dos pontos focais da parábola F0= (-2c+5,1/2 )e F1=(-2c-5, ½). 2c=1, F0= (4,1/2 )e F1=(6, ½)
Brain x^2 + 4x + 4y^2 -8y + 4 = 0 =>
Resolução com gráfico em https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_74.html
x^2+4x=(x+a)^2=x^2+2ax+a^2=> 2ax=4x=>a=2=> (x+2)^2=> x^2+4x+4
+ 4y^2 -8y=>4(y^2-2)=>4(y+b)^2=> y^2+2by+b^2=>2by=-2=>b=-1=>(y-1)^2=>4(y^2-2y+1)=>4y^2-8y+4
(x+2)^2+4(y-1)^2=+4+4-4 =>(x+2)^2+4(y-1)^2=4=>(:4)=>(x+2)^2/4+(y-1)^2=1 => C=(-2,+1); a^2=4 e b^2=1, a>b, a^2=b^2+c^2 =>4=1+c^2=> c^2=3 => c=+/-3^0.5=> Ex=c/a=> +/-3^0.5/2
Exc=0,86<1, Elipse e C=(-2,1)
Se a>b, 2>1, e a ->x, assim o eixo da parábola será y=1.
F=(xv+/-3^0.5, 1) => F=(-2+/-3^0.5, 1)=> F=(-2-3^0.5, 1); F0=(-2-3^0.5, 1)
Os vértices da elipse, temos y=1
a^2=4=>a=+/-2; V=(xc+/a, +1) => V=(-2+2, +1)=> V=(0,1); V0=(-4,1)
Extremidade do eixo MENOR da parábola, temos x=-2
b^2=1=>b+/1; Py=(-2,yc+/-1)=> Py=(-2, +1+/-1)=> Py=(-2, 0); Py0=(-2,+2)
b) x^2 + 4x + 4y^2 + 8y + 4 = 0; =>
c) Brain 18x² - 8y² - 108x + 16y + 226 = 0 => Solução com Gráfico em https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_2.html
18x^2-108x=18(x^2-6x)=(x^2-6x)=(x+a)^2=>x^2+2a+a^2=>2a=-6=a=-3=>18(x-3)^2=>18(x^2-6x+9)=>18x^2-108x+162
-8y^2+16y=-8(y^2-2y)=>y^2-2=(y+b)^2=>y^2+2yb+b^2=>2yb=-2y=>b=-1=>(y-1)^2=>-8(y-1)^2=>-8(y^2-2y+1)=>-18y^2+16y-8
18(x-3)^2-8(y-1)^2=162-8-226=>18(x-3)^2-8(y-1)^2=-72 (*-72)=>-(x-3)^2/4+(y-1)^2/9=1
-a^2=4, b^2=9, b>a; Eixo da cônica vertical, se C=(+3,+1), então eixo será x=3.
a^2=b^2+c^2 => 9=-4+c^2=>c^2=13=>c=+/-13^0.5, Exc= c/a=> Exc=13^0.5/2=> Exc=1,80>1, então trata-se de um Hipérbole.
No eixo da Hipérbole, x=3 encontraremos Centro C=(3,1), Vértices V=(3,+/-yv) e F=(3, yf+/-c)
F=(3, 1+/-13^0.5)=>F=(3, 1+13^0.5); F0=(3, 1-13^0.5)
yv=18(x-3)^2-8(y-1)^2=-72; x=3 => 18(3-3)^2-8(y-1)^2=-72 =>-8(y-1)^2=-72=> y^2-2y+1=9=> y^2-2y-8=0 => y=4 y=-2 V=(3,-2); V0=(3,4)
Brain 36y^2 – 64x^2 = 2304 (:2304)=>(y+0)^2/64-(x+0)^2/36 =1 Maiores detalhes com Gráfico em https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_95.html
=> a^2=64;-b^2=36 e C=(0,0); a^2>b^2(64>-36), sendo “a” em “y”, assim o eixo maior será as ordenadas, ou seja eixo da cônica em x=0. Excentricidade = c/a => a^2=b^2+c^2=> 64=-36+c^2=> c^2=100=>c=10
Exc=10/8=> Exc=5/4>1, então temos uma hipérbole.
No eixo da hipérbole teremos o Centro na origem, o Vértice e o Foco, na reta x=0, assim
F=(0,0+/-c)=> F=(0, +/-10)
V=(0, +/yv)=> (y+0)^2/64-(x+0)^2/36 =1; x=0=>(y+0)^2/64-(0+0)^2/36 =1
=>y^2 =64=>+/-8=> V=(3, +/-8)
Brain 2x²+3y²-8x+6y-7=0 Maiores detalhes com Gráfico em https://geoconic.blogspot.com/p/brain-2x3y-8x6y-70-maiores-detalhes-com.html
2x^2-8x=>a(x^2-4x)^2=>(x+m)^2=>x^2+2mx+m^2=>2mx=-4x=>m=-2=>2(x-2)^2=>2(x^2-4x+4)=>2x^2-8x+8;
3y^2+6y=>3(y^2+2y)=>(y+n)^2=>y^2+2ny+n^2=>2ny=2y=>n=1=>3(y+1)^2=>3(y”2+2y+1)
3y”2+6y+3. 2(x-2)^2
2(x-2)^2+3(y+1)^2=+8+3+7=> 2(x-2)^2+3(y+1)^2=18 :(18)=> (x-2)^2/9+(y+1)^2/6=1
a^2=9;b^2=6=> a^2>b^2=> “a” está em “x”, então o eixo da cônica estará na horizontal. Vemos que o centro da cônica é C=-(-2,+1), C=(+2,-1), então o eixo da cônica será y=-1.
a^2=b^2+c^2=>9=6+c^2=>c^2=3=>c=+3^0.5.
Excentricidade Exc=c/eixo maior=>3^0.3/3=> 0<Exc<1, então temos uma elipse.
No eixo da elipse, y=-1, encontraremos Centro, Vértice e Focos, entâo C=(xc, -1), V=(xv,-1) e F=(xf,-1). Somente o vértice é ponto da elipse.
Focos da elipse são a distância “c” ao centro: F=(xc+/-c, -1)=> F=(+2+/-3^05, -1)=>F=(2+3^0.5, -1); F0=(2-3^0.5, -1)
Os vértices são pontos da elipse no eixo y=-1, então (x-2)^2/9+(y+1)^2/6=1
(x-2)^2/9+(-1+1)^2/6=1=>x^2-4x+4=9=>x^2-4x-5=0 x=5 x=-1.
V=(5,-1);V0=(-1,-1)
Brain 25x² + 169y²=9
(:9)=>25(x-0)^2/9+169(y-0)^2/9=1=> Resolução completa emhttps://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_4.html com Gráfico em
a^2=9/25 e b^2=9/169, vemos que a^2>b^2, e “a” está em “x”, assim o eixo da cônica será horizontal. se C=(0,0), então eixo será y=0. Neste eixo encontramos o Centro C=(0,0), o Foco F=(xc+/-c,0) e Vértice V=(xv,0)
a^2=b^2+c^2=>9/25=9/169+c^2(*4225)=>9*169=9*25+4225c^2=>c^2=9(169-25)=>4225c^2=9*144=>c^2=9*144/4225=> c=(9*144/4225))^0.5=>3*12/65=>c=36/65
F=(+/-36/65, 0)
V=(xv,0)=>25xv² + 169y²=9, xv pertence a elipse, para y=0
25xv² + 169*0²=9=>25xv^2=9=>xv=(9/25)^0.5=>xv=+/-⅗
V=(+/-3/5 , 0)
Brain 16x² - y²=-1 (-1)=>-16(x-0)^2+(y-0)^2=1=>Gráfico a^2=-16;b^2=+1=>b>a=>1>-16. B está em y^2, assim o eixo desta cônica será vertical. Como o Centro C=(0,0), então o eixo será x=0.
a^2=b^2+c^2=>-16=1-c^2=>c^2=17=>c=+/-17^0.5= Excentricidade=c/eixo maior(b)=> exc=17^0.5/1, exc=17^0.5 > 1, então temos uma hipérbole.
F=(0, +/-17^0.5)
V=(0,yv)=> 16x² - y²=-1=>160² - y²=-1 =>vy=+/-1
V=(0,+/-1)
Descomplica Exercícios sobre circunferências e cônicas
Qual a distância entre o centro e a reta? x^2-2x+y^2-6y-6=0 e 3y=-4x-1,
Gráfico detalhes acesse https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_62.html
x^2-2x=>(x+a)^2=>x^2+2ax+a^2=>2ax=-2x=>a=-1=>(x-1)^2=>x^2-2x+1
y^2-6y=>(y+b)^2=>y^2+2by+b^2=>2by=-6y=>b=-3=>(y-3)^2=>y^2-6y+9
(x-1)^2+(y-3)^2=+1+9+6=>(x-1)^2+(y-3)^2=16(:16)=>(x-1)^2/16+(y-3)^2/16=1. Centro será C=-(-1,-3)=>C=(1.3), e a^2=b^2=16, a^2=b^2+c^2=>16==16+c^2=>c=0.então NÃO temos eixo maior, assim a excentricidade é NULA, uma vez que Exc=c/eixo maior. exc=0/0.
Se excentricidade NULA, pois a^2=b^2=16; a=b=4, 2a=2b=8 =>este é o comprimento (diâmetro) de quaisquer dos eixos a ou b da circunferência, logo seu raio será 4.
C=(1,3) temos que descobrir a MENOR distância para 3y=-4x-1=>3y=-4(x+1/4)=>(y+0)=(-4/3)(x+1/4). O=-(1/4,0)=>O=(-1/4,0)
-4/3 é o coeficiente angular da reta. Ca é negativo e está em “x”. tg⦰=-4/3=>⦰=180-53,13=126.87°
Uma reta perpendicular a y=-4/3(x+1/4), mas que passe por C=(1,3)=> se ca=-1/ca, então y-3=(3/4)(x-1). Ca=-1/ca é condição de perpendicularidade.
Está reta y-3=(3/4)(x-1)=>y=((3/4)(x-1))+3 , além de passar pelo centro C=(1,3), cruza perpendicularmente y=(-4/3)(x+1/4).
Então y=y =>((3/4)(x-1))+3=(-4/3)(x+1/4)=> x=-31/25 => y=(-4/3)(-31/25+1/4) = y=33/25
I=(-31/25, +33/25).
Distância entre CI será d^2=(xc-xi)^2+(yc-yi’)^2=> d=((1-(-31/25))^2+(3-33/25)^2))^0.5=>d=14/5
QConc Brainly x^2+y^2+2x+4y+2=0 Corda = Pm=(-1,-1). Resolução com Gráfico e Distância MN ao centro e comprimento de MN
x^2+y^2+2x+4y+2=0 =>Pm=(-1,-1)=>Vemos que a corda é segmento da reta y=-1, M=(+/-xm, -1) que intercepta em dois pontos a elipse x^2+y^2+2x+4y+2=0, assim x^2+(-1)^2+2x+4(-1)+2=0
-1+2^0.5 e -1-2^0.5=> M=(-1+2^05, -1) N=(-1-2^05, -1)
MN=xm-xn=>-1+2^05-(-1-2^05)=> MN=2*2^0.5
Para se determinar a distância de MN para Pm, segue:
x^2+y^2+2x+4y+2=0
x^2+2x=>(x+a)^2=>x^2+2ax+a^2=>2ax=2x=>a=1=>(x+1)^2=>x^2+2x+1
y^2+4y=>(y+b)^2=>y^2+2by+b^2=>2by=4y=>b=2=>(y+2)^2=>y^2+4y+4
(x+1)^2+(y+2)^2=+1+4-2=>(x+1)^2+(y+2)^2=+3, Vemos que C=-(+1,+2), C=(-1,-2)
Distância=D^2=(xc-xp)+(yc-yp)=>d^2=(-1-(-1))^2+(-2-(-1))^2=>d^2=1^2=>d=1
Detalhes acesse https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_62.html
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Descomplica - Dado F=(-5,0), F0=(+5,0) e V=(3,0). Faremos a resolução no osso, ou seja, sem gráfico.
/FFO/=2c=>2c=-5-(5)=>FFO=10, então o centro fica em C=(0,0), assim=c=+/-5 e c^2=25
“c” equidista do Centro aos Focos +/-5 => a^2=b^2+c^2. Vemos que foco F=(-5,0), F0=(+5,0), Vértice V=(+/-3,0) e C=(0,0), y=yc=>y=0, estão no mesmo eixo y=0, Horizontal, então a excentricidade é Positiva.
A distância do centro aos vértices V=(3,0) será +/-3 a=3, a^2=9.
a^2=b^2+c^2=> 9=b^2+25=> b^2=-16=>-b=4.-b^2=16.
Excentricidade= c/a => Exc=c/a Exc=5/3=> Exc>1 e positiva, Hipérbole, Horizontal.
C=(0,0) =>(x-0)^2/a^2+(y-0)^2/b^2=1=>(x-0)^2/9+(y-0)^2/-16=1
16(x-0)^2-9(y-0)^2=9*16=>=> 16x^2-9y^2=144
Vejamos agora F1=(0,-5), F2=(0,+5), e V=(0,+/-3).
/F1F2/=2c=10=>2c=10=>c=5 e c^2=25 então o centro fica em C=(0,0), pois c=+/-5, e“c” equidista do Centro aos Focos +/-5. Se F=(0, +/-5), V=(0,+/-3), e C=(0,0), temos xc=0, então o eixo da cönica será x=0, Vertical. Se vertical b^2>a^2. Lembrando que o denominador de x, e b é denominador de y.
b é distância do centro e vértice /b/=xc-xf=>/b/=0-3=/b/=3=>b^2=9
Como b>a, b será hipotenusa em b^2=a^2+c^2=>9=a^2+25=>-a^2=16
((x-0)^2/-16)+(y-0)^2/9=1=>-9x^2+16y^2=144
Detalhes com gráfico acesse https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_62.html
Descomplica ((x-1)^2/25)+((y+2)^2/9)=1 Faremos a resolução no osso, ou seja, sem gráfico.
C=-(-1,+2)=>C=(+1,-2). a^2=25=>a=+/-5, b^2=9=>b=+/-3. a^2>b^2=> Eixo da cönica será horizontal, uma vez que o denominador de x, e b é denominador de y.Assim C=(+1,+2), F=(+/-xf, -2) e V=(+/-xv, -2). Eixo é y=-2.
Como a>b, a^2=b^2+c^2=> 25=9+c^2=>c^2=+/-16=>c=+/-4. “c” equidista do Centro aos Focos +/-4=>xf=xc+/-4=>xf=+1+/-4=>F0=(+5,-2), F=(-3,-2). FF0=2c=FF0=8
Excentricidade= c/eixo => ⅘ 0<Exc<1 => Elipse.
Vértices serão V=(+/xv, -2)=> xv=xc+/-a, pois a=+/-5 é distância do centro ao vértice, assim xv=+1+/-5=>V=(6,-2) e V=(-4, -2)
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Descomplica_ V=(0,0); F0=(0,3/2). x^2/a^2+y^2/b^2=1, Faremos a resolução no osso, ou seja, sem gráfico.
Temos a^2=b^2. Não é possível saber qual o eixo maior, então Excentricidade é Zero. O que nos diz que estamos diante de uma circunferência ou parábola, mas circunferência NÃO tem foco, trata-se de uma Parábola=> (x+0)^2=ca(y+0) ou (y+0)^2=ca(x+0). Observar que V=(0,0);F=(0, 3/2), assim o eixo da parábola será x=0, então y^2=+/-ca(x). Termos uma parábola Vertical. Observa-se também que O foco é maior que o vértice, então teremos uma parábolo vertical Crescente, com a concavidade para cima. y^2=+ca(x)
O Ponto diretriz D=(0,yd). O vértice equidista da diretriz e do foco, assim D=(0,-3/2). A diretriz será y=-3/2. Ca=4*(yf-yc)=>ca=4*3/2=>ca=6=>x^2=+6(y)
Vamos determinar os Pontos Focais da parábola. F1e F2. Uma vez que o eixo focal será y=3/2, F=(xf+/-x, 3/2).
x^2=+6(y) e y=3/2 =>x^2=6*3/2=>x^2=9=>x=+/-3=> F(+/-3,3/2)
Detalhes com gráfico acesse https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_62.html
Descomplica_1 F=(3,2) V=(-1/2,2)=> (y-2)^2=ca(x+1/2)=> Eixo=y=2, ca=4*m, m=xf-xv=>m=7/2.ca=4*(xf-xv)=>ca=4*(3-(-1/2))=>4*7/2=>14=>(y-2)^2=14(x+1/2)=>(y-2)^2=14x+7=> (y-2)^2=7(2x+1) => D=(xv,2)=>xd=xv-m=>xd=-1/2-7/2=>xd=-5/2, D=(-4, 2), Diretriz x=-4.
Detalhes com Gráfico acesse https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_15.html
Descomplica_2 Uma bola é jogada dentro de uma cesta cuja superfície é obtida girando a parábola y=x^2 em torno do eixo y. O centro da bola ocupa um ponto de altura y = 3.O raio da bola é:
x^2+(y-3)^2=r² e x^2=y, pois a circunferência e a parábola precisam ter DOIS pontos em comum.
y+y^2-6y+9=R=>y^2-5y-R=0 =>Delta=0, Condição para que a circunferência e a parábola tenha DOIS pontos em comum. Se Delta=0, então y=-b/2a.
y=-b/2a=>-(-5)/2*1=>y=5/2 e x²=5/2=>x=+/-(5/2)^0.5 => P=((5/2)^0.5, y=5/2) => Segmento de reta CP=r=>r^2=(xc-xp)^2+(yc-yp)^2=>r^2=(0-(5/2)^0.5)^2+(3-5/2)^2
r^2=5/2+(1/2)^2=>r^2=5/2+¼ => r²=10+1/4=r²=11/4=>r<(11/4)^0.5=>>r<(11^0.5)/2
x^2+(y-3)^2=((11/4)^0.5)²=>x^2+(y-3)^2=11/4
Veja que se r=(11^0.5)/2, a BOLA NAO ENTRA NA CESTA, a resposta correta é r<(11^0.5)/2, e a rigor NÃO há alternativa com respostas.
Detalhes com gráfico acesse https://geoconic.blogspot.com/p/descomplica-2.html
Descomplica_3 (Fgv 2014) No plano cartesiano, há dois pontos R e S pertencentes à parábola de equação y=x^2 e que estão alinhados com os pontos A=(0,3) e B=(4,0). A soma das abscissas dos pontos R e S é: Resolução com Gráfico em https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_32.html Gráfico
A=(0,3) e B=(4,0), são pontos de uma reta, vamos descobri-lá => tgϴ=senϴ/cosϴ =>tgϴ=m=(y-y0)/((x-x0) => (3-0)/(0-4) => tgϴ=m=-3/4 => m=(y-y0)/((x-x0) =>P(0,3) => -¾=(y-3)/(x-0) => -3x=4y-12 => -3x-4y=-12 => 3x+4y=12
3x+4y=12 e y=x^2 => 3x+4x^2=12 => 4x^2+3x-12=0
3x+4y=12 e y=x^2 => 3x+4x^2=12 => 4x^2+3x-12=0
(xa+xb)=-b/a => -¾ e xa*xb=c/a
ax2 + bx + c = 0
(x1+x2)=> x1=(-b+Δ^½)/2a e x2=(-b-Δ^½)/2a =>(-b+Δ^½)/2a+(-b-Δ^½)/2a =>-2b/2a=>
(x1+x2)=-b/a
Confirmando
3x+4y=12 e y=x^2 => 3x+4x^2=12 => 4x^2+3x-12=0 => xa=1.40 e xb=-2.15
ya=1.96 e yb=4.63 Ia=(1.4, 1.96) e Ib=(-2.15, 4.63)
xa+xb= -0,75.
A=(0,3) e B=(4,0)
Reta=y=ca(x+c)= ca=senϴ/cos =>ca=tgϴ=senϴ/cosϴ=>tgϴ=(ya-yb)/(xa-xb)=>tgϴ=-¾=>tϴ=-45º ϴ=180-45=>ϴ=135º
P(0,3)=>y=(-3/4)x+N=>3=0+N=>N=3;>y=-3x/4+3 (*4)=4y=-3x+12
Agora temos que encontrar os pontos da parábola x^2=y que interceptam a reta AB 4y=-3x+12 e x^2=y =>4x^2=-3x+12=>4x^2+3x-12=0 => x=(-3+201^0.5)/8 x’=(-3-201^0.5)/8
(-3+201^0.5-3-201^0.5)/8 =>-6/8=>x+x’=-0,75
Detalhes com Gráfico acesse https://geoconic.blogspot.com/p/descomplica-3.html
Descomplica_4 Sobre a parábola definida pela equação x^2+2xy+y^2-2x+4y+1=0 pode-se afirmar que:
x^2-2x=(x+a)^2=>x^2+2ax+a^2=>2ax=-2x=>a=-1=>(x-1)^2=>x^2-2x+1
y^2+4y=(y+b)^2=>y^2+2by+b^2=>2by=4y=>b=+2=>(y+2)^2=>y^2+4y+4
(x-1)^2+(y+2)^2=+1+4-2xy-1=>(x-1)^2+(y+2)^2=-2xy+4.
x^2+2xy+y^2-2x+4y+1=0; y=0 => x^2+2x0+0^2-2x+4*0+1=0=>x^2-2x+1=0 x=1, T=(1,0) Falso;
x^2+2xy+y^2-2x+4y+1=0; y=0 => x^2+2x0+0^2-2x+4*0+1=0=>x^2-2x+1=0 x=1, Verdadeiro, pois T=(1,0) é um único ponto.
Detalhes com Gráfico acesse https://geoconic.blogspot.com/p/descomplica-4.html
Descomplica 5 O fisiologista inglês Archibald Vivian Hill propôs, em seus estudos, que a velocidade V de contração de um músculo ao ser submetido a um peso p é dada pela equação (p + a) (v +b) = K, com a, b e K constantes.
Um fisioterapeuta, com o intuito de maximizar o efeito benéfico dos exercícios que recomendaria a um de seus pacientes, quis estudar essa equação e a classificou desta forma:
O fisioterapeuta analisou a dependência entre v e p na equação de Hill e a classificou de acordo com sua representação geométrica no plano cartesiano, utilizando o par de coordenadas (p. V). Admita que K> 0.
O gráfico da equação que o fisioterapeuta utilizou para maximizar o efeito dos exercícios é do tipo
(p + a) (v +b) = K, com a, b e K constantes, P=(p,v) e K>0. Plano cartesiano formado por PV, onde p=x e v=y e, são quaisquer desde que K>0, então vamos estabelecer “a=b=0, e K=1. Onde K, por evidente, deve ser maior que A ou B.
=> P=(x,y)=>(x+0) (y+0)=1 =>xy=1=> y=1/x Hipérbole. Veja por que é uma Hipérbole y=1/x … doideira ... http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/veiculos_de_comunicacao/RPM/RPM45/RPM45_02.PDF
acesse com Gráfico https://geoconic.blogspot.com/p/descomplica-5.html
Descomplica 6 Considere a hipérbole de equação y=1/x mostrada na figura abaixo:
Quais são os pontos de interseção entre a hipérbole e a reta de equação y-2=x+2?
y=1/x ; y-2=x+2 =>1/x=x+4 (*x)=>1=x^2+4x=>x^2+4x-1=0 => x=-2+/-5^0.5
y=1/(-2+5^0.5) *(-2-5^0.5)=> 2-5^0.5/5-2 =>> -(2-5^0.5)=>y=-2+5^0.5
A= (-2-5^(0.5), 2-5^(0.5)) e B=(-2+5^(0.5), 2+5^(0.5))
Letra a.
acesse com Gráfico https://geoconic.blogspot.com/p/descomplica-6.html
Descomplica 7 (Esc. Naval 2013) A equação 4x^2−y^2−32x+8y+52=0 no plano xy, representa:
4x^2−32x=0=>4(x^2-8x)=>(x+a)^2=>x^2+2ax+a^2=>2ax=-8x=>a=-4=>4(x-4)^2=>
4(x^2-8x+16)=>4x^2-32x+64
−y^2+8y=0=>-(y^2-8y)=>-(y-4)^2=>-(y^2-8y+16)=>-y^2+8y-16
4(x-4)^2-(y-4)^2=64-16-52 => 4(x-4)^2-(y-4)^2=-4 (:-4)=> -(x-4)^2)+((y-4)^2)/4=1
C=(4,4); a^2=-1: b^2=+4=>b^2>a^2, então.
a^2=b^2+c^2=>-1=4+c^2=>-c^2=5=>c=-5^0.5.
Exc=c/a,Exc=5^0.5/2>-1, Trata-se de uma Hipérbole (Exc>1), e o sinal negativo indica que seu eixo é vertical, x=4, pois C=(4,4), e neste eixo encontraremos F=(4,yf) e V=(4,yv)
Se c=+/- 5^0.5.
C é distância do centro ao Foco. O eixo VERTICAL (x=4) da Hipérbole temos o Centro C=(4,4), o Vértice=(4, yv) e o Foco F=(4,yf), e yf=yc+/-c=> yf=4+/-5^0.5.
F=(4, 4+5^0.5); F0=(4, 4-5^0.5)
V(4,y)=>4x^2−y^2−32x+8y+52=0=>4*4^2−y^2−32*4+8y+52=0 y=2 e y’=6
V=(4, 2) e V0=(4,6)
acesse com gráfico https://geoconic.blogspot.com/p/13.html
Descomplica 9 A seguir estão ilustradas partes dos gráficos das parábolas A e B, com equações respectivas y=−x^2 +8x−13 e y=-x^2-4x-3.
I. Um dos pontos de interseção das parábolas A e B tem coordenadas (1, -6).
−x^2 +8x−13 =-x^2-4x-3=> +8x−13=-4x-3=>x=10/12=>x=5/6. Falso
I=(5/6, y)=>−x^2 +8x−13=>-(5/6)^2+(8*5/6)-13= I=(5/6, -253/36)
II. O vértice da parábola A é o ponto (4, 2).
y=−x^2 +8x−13=>
-x^2+8x=>-(x^2-8x)=>(x+a)^2=>x^2+2ax+a^2>2ax=-8x=>a=-4=>-(x-4)^2=>-x^2+8x-16
-(x-4)^2-13=y-16=>-(x-4)^2=y-3(*-1)=>(x-4)^2=-1(y-3), onde Coeficiente angular CA=-1 e incide em na função linear “y”, que é função seno, sen₢=-1,₢=270 Graus, Eixo da parábola é vertical (função seno), e decrescente 270০.
V=-(-4,-3)=>V=(4,3) Falso
III - A reta que passa pelos pontos de interseção das parábolas A e B tem equação y=2x-6y
I=(5/6, -253/36)=>y=2x-6y=>y=(2*⅚)-6y=>7y=5/3=>y=5/21 Falso.
IV. A distância entre os vértices das parábolas A e B é 102^0.5.
Va=(4,3)
(B)y=-x^2-4x-3
-x^2-4x=-(x^2+4x)=>(x+a)^2=x^2+2ax+a^2=>2ax=4x=>a=2=>-(x+2)^2=>-(x^2+4x+4)=>
-x^2-4x-4,
-(x+2)^2-3=y-4=>-(x+2)^2=y-1(*-1)=>(x+2)^2=-1(y-1)=>Vb=-(+2,-1)=>Vb=(-2,+1)
d^2=va^2+vb^2=>d^2=(xa-xb)^2+(ya-yb)^2=>d^2=(4-(-2))^2+(3-1)^2=>d^2=36+4=>d^2=40
d=40^2=>d=6,324555320336759 => Falso
V. A parábola B intercepta o eixo das ordenadas no ponto com coordenadas (0, -3).
(B)y=-x^2-4x-3
P=(0,-3)=>y=-x^2-4x-3=>y=-3 Verdadeiro
acesse com Gráfico https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_62.html
Descomplica 10 A representação no sistema cartesiano ortogonal da equação 9x^2-y^2=36x+8y-11 é dada por:
9x^2-36x-y^2-8y=-11
9x^2-36x=>9(x^2-4x)=>(x+a)^2=>x^2+2ax+a^2=>2ax=-4x=>x=-2=>9(x-2)^2=>9(x^2-4x+4)
9x^2-36x+36
-y^2-8y=-(y^2+8y)=>(y+b)^2=>y^2+2by+b^2=>2by=8y=>b=4=>-(y+4)^2=>-(y^2+8y+16)
-y^2-8y-16;
9(x-2)^2-(y+4)^2=36-16-11=>9(x-2)^2-(y+4)^2=9 (:9)=>(x-2)^2-((y+4)^2)/9=1
C=-(-2,+4)=>C=(2,-4), a^2=1; b^2=-9,
a^2=b^2+c^2=>1=-9+c^2=>c^2=10 => c=+/-10^0.5.
Excentricidade Exc=c/a=>Exc=10^0.5/1, Exc>1, e positiva, temos Hipérbole com eixo Horizontal, y=-4, C=(2,-4), V=(xv, -4) e F=(xf, -4)
xf=xc+/-c=>xf=2+/-10^0.5=>F=2+10^0.5 e F0=2-10^0.5=>F=(2+10^0.5, -4) F0=(2-10^0.5, -4).
V(x, -4)=>9x^2-y^2=36x+8y-11=>9x^2-(-4)^2=36x+8(-4)-11=>x=3 e x’=1
V=(1,-4) V0=(3,-4)
acesse com Gráfico https://geoconic.blogspot.com/p/descomplica-10.html
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