Exercícios de Triângulos e Geometria Plana

  Princípios de Triângulos

R01 — Verifique se os triângulos  ΔABC  e  ΔDEF  são semelhantes.

Sendo  AB  =  6,  AC  =  12,  BC  =  9,  DE  =  6,  DF  =  4  e  EF  =  8.

triângulotriângulo


AC=12, BC=9, AB=6, 

EF=8, DE=6, DF=4

8/12=>2/3, 6/9=>2/3 => Sim, são semelhantes


R02 — Sabendo que,  na figura abaixo:

triângulo

AB // CD, AB  =  6, AE  =  8, BE  =  4, CE  =  10. Determine  CD.


AB=CD=6, AE=EC=8

AB/DC; AE/EC; BE/ED =>6/CD; 8/10; 4/ED

4/5 6/CD = 4/5=6/CD=>4CD=30=>CD=15/2


R03 — Sabendo que a figura abaixo é um paralelogramo:

triângulo

Mas não é um losango, e que: AB = 8  e  BD = 7, determine AC.

AB/BD = 8/7 => AC=7


R04 — Sabendo que,  na figura abaixo:


triângulo


BC // DE,  determine o medida do segmento  BE,  se:

AB  =  30,  AC  =  18  e  AD  =  15.

AB/AE=>30/AE, AC/AD => 18/15 => 18AE=30*15 =>AE=5*5=>AE=25.

EB=AB-AE=>EB=30-25= EB=5


R05 — Na figura abaixo,  BCA  ≅  DCB  e  CAB  ≅  CBD.

Sendo  AB  =  12,  AC  =  9,  CD  =  4.  Determine  BC e BD.

triângulo


AC/CD=>9/4; AB/DB=>12/BD => 9/4=12/BD; 9BD=4*12=> 3BD=4*4=>BD=16/3


AC/CD=>9/4; CB=1 ????




1. Acerca da figura a seguir podemos afirmar que:

a) Projeto Medicina Triângulos


O triângulo ABC é equilátero.

( V ) O triângulo ACD é isósceles. Teta=60º L=30º, a=120º, b=30º  

( V )  a- (L + b)é divisível por 2 => 120-(30+30)=>60º

( V ) AD = BC => São os dois lado iguais do triângulo Isósceles. 

( F ) Os triângulos ABC e ACD têm áreas iguais => São triângulos diferentes.


2. Analise as seguintes afirmações:

( V ) Dois triângulos equiláteros quaisquer são semelhantes.

( V ) Dois triângulos retângulos são semelhantes se os catetos de um são proporcionais aos catetos do outro.

( F ) Num triângulo qualquer, cada lado é maior que a soma dos outros dois.

( F ) Se as diagonais de um quadrilátero se interceptam no seus pontos médios, então esse

quadrilátero é um retângulo.

( F ) Se pelo ponto médio do lado AB de um triângulo ABC traçarmos uma reta paralela ao lado BC, então esta reta interceptará o lado AC no seu ponto médio.



2) Projeto Medicina Triângulos 2. Analise as seguintes afirmações:

( V ) Dois triângulos equiláteros quaisquer são semelhantes.

( V ) Dois triângulos retângulos são semelhantes se os catetos de um são proporcionais aos catetos do outro.

( V ) Num triângulo qualquer, cada lado é maior que a soma dos outros dois.

( F ) Se as diagonais de um quadrilátero se interceptam no seus pontos médios, então esse

quadrilátero é um retângulo.

( V ) Se pelo ponto médio do lado AB de um triângulo ABC traçarmos uma reta paralela ao lado BC, então esta reta interceptará o lado AC no seu ponto médio.


3) (Ufpe 95) Considere os triângulos retângulos PQR e PQS da figura a seguir.

Se RS=100, quanto vale PQ?


PR=100, pois os temos dois ângulos iguais em PRS, ângulos p=s=30º, trata-se PRS de um triângulo isósceles, onde RS=100=PR.

Se PQ=PR*sen60º=>PQ=100*sen60º=>100*3^2/2=>PQ=50*3^0.5


PR=100, pois os temos dois ângulos iguais em PRS, ângulos p=s=30º, trata-se PRS de um triângulo isósceles, onde RS=100=PR.


Agora vc descobrirá o por que de trigonometria ser tão importante .


PS^2=QS^2+PQ^2=>PQ^2=PS^2-QS^2

PR^2=PQ^2+QR^2=>PQ^2=PR^2-QR^2=>>PQ^2=100^2-QR^2

PQ^2=PQ^2

PS^2-QS^2=100^2-QR^2

QS=QR+100

PS^2-(QR+100)^2=100^2-QR^2

PS->100 e PQ->QR (Lados Menores) e QS->PQ (Lados Maiores)

PQ^2=QS*QR=>PQ^2=(QR+100)*QR

PQ^2=QR^2+(100*QR)

100^2-QR^2=QR^2+100*QR

100^2=2QR^2+100QR

QR=50

PR^2=PQ^2+QR^2

100^2=PQ^2+5/^2

PQ=50*(3^0.5)


Detalhes sobre esse exercício e mais exercícios sobre triângulo acesse

https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_55.html


5. (Fuvest 91) Na figura adiante, AB=AC, BX=BY e CZ=CY. Se o ângulo A mede 40°, então o ângulo XYZ mede: 

Se AB=AC, ABC é isósceles;

Se BX=BY, BXY é isósceles;

Se CZ=CY, CZY é isósceles;

Se ABC é isósceles,  a=40, Se AB=AC, então b=c=>180º=40º-2b=>2b=140º=>b=c=70º

Se CZY é isósceles,  c=70º, Se CZ=CY, então y=z=>180º=70º-2z=>2z=110º=>y=z=55º

Se BYX é isósceles,  b=70º, SeBX=BY,, então y=x=>180º=70º-2y=>2y=110º=>y=x=55º

180º=z+x+©=>180º=55º+55º+©=>©=70º

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6. (Fuvest 91) No quadrado ABCD de lado 12 temos: AE=13 e CF=3. O ângulo AÊF é agudo, reto ou obtuso? Justifique

Veja o gráfico

EÂD=>AE^2=AD^2+DE^2=>13^2=12^2+DE^2=>DE^2=13^2-12^2=>DE^2=25, DE=5;

BÂF^2=AB^2+BF^2=>AF^2=12^2+9^2=>AF^2=225=>AF=15.

Como AE>AF=> 13<15,  este ângulo é obtuso.

Comprovação

DE=5=>CE=CD-DE=>CE=12-5=>CE=7

cêf=>tg(cêf)=sen(cêf)/cos(cêf)=co/ca=>CF/CE=>tg(cêf)=5/7=>cêf=35,54º

dâe=>cos(dâe)=ca/h=>cos(dâe)=12/13=>dâe=42,70º

dêa=>180=90+dâe+dêa=>180=90+42,7+dêa=>dêa=47,3º

180=dêa+cêf +aêf=>180=47,3+35,54+aêf=>aêf=97,16º, portanto obtuso. 


Brain Tarefa 21858 No quadrado ABCD de lado 24, temos AE = 26 e CF = 6. O angulo AEF e agudo, reto ou obtuso? Justifique


Este problema se apresenta sem figura, devemos determinar as retas que formam o quadrado.

Precisamos descobrir onde os pontos E e F interceptam o quadrado, e usaremos geometria Plana?

As retas do quadrados são quatro:

AB=>y=24; BC=>x=24; CD=>y=0 e DA=x0.


Em seguida montamos as circunferências que definem os pontos AE = 26 e CF = 6


AE=x^(2)+ (y-24)^(2)=26^(2) e CF=(x-24)^(2)+y^(2)=6^(2)


Montada a figura no plano cartesiano, veja o gráfico, concluímos:

Somente as retas BC e CD interceptam as circunferências. Como o triângulo seu dois vértices devem tocar lado do quadrado distintos, então para circunferência maior AE=x^(2)+ (y-24)^(2)=26^(2), tocará o eixo CD=>y=0; circunferência menor CF=(x-24)^(2)+y^(2)=6^(2), tocará o eixo BC=>x=24, vejamos:

x^(2)+ (y-24)^(2)=26^(2), para y=0;=>x^2+24^2=26^2 => x=+/-10 =>Como -10 não faz parte do quadrado, veja o gráfico, então E=(10,0)

(x-24)^(2)+y^(2)=6^(2), para x=24=>(24-24)^(2)+y^(2)=6^(2)=>y=+/-6=>Como -6 não faz parte do quadrado, veja o gráfico, então F=(24,6)


AE=26, dado pelo problema, o que resta é calcular AF. AF é hipotenusa, então AF^2=AB^2+BF^2=>AF^2=24^2+(BC-CF)^2=>AF^2=24^2+(24-6)^2=>AF^2=24^2+(18)^2

AF=30.

AF>AE, 30>26, 


Se EF de CEF = EF de AEF, então AêF= ângulo reto.


Desenvolver


AÊD=tg(ê)=sen(ê)/cos(ê)=>co/ca=>tg(e)=AD/DE=>tg(e)=24/10=>AêD=67,38º

CêF=tg(ê)=sen(ê)/cos(ê)=>co/ca=>tg(e)=CF/CE=>tg(e)=>6/15=>CêF=21,80º

180º=AêD+CêF+AêF=>180=67,38+21,8+AêF=>AêF=90,82º


DâE=tg(a)=sen(a)/cos(a)=>co/ca=>tg(a)=DE/AD=>tg(a)=10/25=>DâE=21,80º

BâF=tg(a)=sen(a)/cos(a)=>co/ca=>tg(a)=BF/AB=>tg(a)=(BC-CF)/AB=>tg(a)=18/24

BâF=36,87

90º=DâE+BâF+EâF=>90=21,8+36,87+EâF=>EâF=31,33º


AfE=tg(f)=sen(f)/cos(f)=>co/ca=>tg(f)=AB/BF=>tg(f)=24/18=>AfE=53,13º

EdF=tg(f)=sen(f)/cos(f)=>co/ca=>tg(f)=CE/CF=>tg(f)=15/6=>EdF=68,20º

180º=AfE+EdF+AfE=>180=53,13+68.20+AfE=>AfE=58,67º.

Comprovação: 180º=AfE+EaF+AeF=>180=58,67+31,33+90,82.

180=180,82, os 0,83 são das aproximações.


então necessariamente triângulo será obtuso, portanto os ângulos “a” e “f” são agudos, e o ângulo “e” é obtuso.

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