Q528739
Vamos descobrir o vértice do triângulo AVB inscrito na parábola, sendo que os vértices A e B estão sobre o eixo das abscissas e o vértice V é o ponto máximo da parábola. A área do triângulo VAB, cujas medidas dos lados estão em centímetros, é, em centímetros quadrados, igual a?
Questão do Demônio!!!!! Seria uma excelente questão pela complexidade e demandando vários conhecimentos de matemática, entretanto favorece “o chute técnico”. O Batráquio elevaria o lado de um triângulo equilátero CHUTADO e acertaria a questão. Outro aspecto condenável - se o aluno que domina a matemática resolvesse desbravar a questão, perderia um tempo precioso, assim façam questões galinhas mortas primeiramente.
Fase 1 - Descobrir a equação geral da parábola.
Vamos lembrar que as cônicas tem a seguinte fórmula geral Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0 => a parábola é forma especial de cônica.
A parábola apresentada tem seu eixo no sentido vertical “y”, direção decrescente (negativa). Assim a função linear será “y”, função quadrática em “x”e o coeficiente angular será negativo, terá então a forma (x-xv)^2=-ca(y-yv) => Voltemos a fórmula geral Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0 =>l B=C=0 =>Ax^2+Dx+Ey+F=0 =>igualando a função quadrática a 1, para isolá-la, termos => Ax^2= -Dx-Ey-F ou -Ax^2=Dx+Ey+F
A parábola tem três pontos A=(-1,0), B=(3,0) e C=(0,3), com três pontos é possível chegar a sua equação, através de um sistema de três equações e três incógnitas, com matrizes.
=> (-1x)^2=Dx+Ey+F => x^2=Dx+Ey+F
a=D^2
Para A=(-1,0) = (-ax)^2=Dx+Ey+F=> x^2=-x+1 => a=(-1^2), D=(-1), E=0 e F=1 =>
+1= -1 0 1
Para B=(3,0) = (-ax)^2=Dx+Ey+F=> 9x^2=3x+1 => a=(3^2), D=(+3), E=0 e F=1 =>
+9= +3 0 1
Para C=(0,3) = (-ax)^2=Dx+Ey+F=> 0=3y+1 => y=-⅓ => a=(0), D=(0), E=3 e F=1 =>
0= 0 3 1.
Percebe-se que o mais simples é resolver o sistema de inequações, mas preferimos matriz, sendo trabalhoso, mais completo, pronto para quaisquer casos.
Determinante de Validade = \begin{bmatrix}-1 & +0 & +1 \\+3 & -0 & +1 \\ +0 & +3 & +1 \end{bmatrix}
Determinante “D” =\begin{bmatrix}+1 & -0 & 1 \\+9 & -0 & 1 \\ +0 & +3 & 1 \end{bmatrix}
Determinante \begin{bmatrix}-1 & +1 & 1 \\+3 & +9 & 1 \\ +0 & +0 & 1 \end{bmatrix}
Determinante “F” =\begin{bmatrix}-1 & +0 & +1 \\+3 & +0 & +9 \\ +0 & +3 & 0 \end{bmatrix}
x^2=Dx+Ey+F
A=1, termo quadrático que foi isolado..
D=DD/DV => 24/12 = +2
E=DE/DV => -12/12 = -1
F=DF/DV => 36/12 = +3
(-Ax)^2=Dx+Ey+F => x^2=+2x-y+3
Fase 2 - Achar a equação Reduzida
Agora para achar o vértice temos que transformar x^2=+2x-y+3 em uma equação reduzida.
x^2=+2x-y+3 => x^2-2x-3=-y =>x^2=+2x-y+3 => x^2-2x=-y+3 => Decompondo dos quadrados=> x^2-2x => x^2-2x*A+A^2 => -2x=-2xA => A=1 => (x-1)^2 => x^2-2x+1 => (x-1)^2=-y+3+1 => (x-1)^2=-(y-4) =>
Fase 3 - Achar o Vértice
Com a equação reduzida (x-1)^2=-(y-4), concluímos que o V=(+1,+4),.
Fase 4 - Área do triângulo AVB
Considerando o eixo da parábola =>x=1, podemos afirmar também que seu ponto espelho será em E=(1,-4). Veja que temos um losango AVBE e sua área será definida por AVBE = (AB*VE)/2, fórmula geral para área de quaisquer losangos retângulos => AVBE = (4*8)/2 => AVBE = /16/. O triângulo AVB terá metade destas áreas, AVB=16/2 = 8 cm^2.
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